1.1.1.1 表記法

Simple Description

変数

$x _ {1}, x _ {2}, \cdots, x _ {n}$ を $x _ {i}\ (i=1,2,\cdots,n)$ と表す．（ $i$ : 指標）

総和規約

1つの項の中の指標を2回繰り返したとき，その指標の取り得る値で総和を取る．

例

$\displaystyle\sum _ {i=1}^{n}a _ {i}x _ {i}\longrightarrow a _ {i}x _ {i}$

微分

添え字内でコンマ以降の指標は，その指標が表す変数での微分を表す．

例

$df=\pdv{f}{x _ {i}}\dd{x _ {i}}\longrightarrow \dd{f}=f _ {,i}\dd{x _ {i}}$

クロネッカーのデルタ

$$\delta _ {ij}= \begin{cases} 1 & (i=j) \\ 0 & (i\ne j) \end{cases}$$

レヴィ・チビタ記号

$$\varepsilon _ {ijk}= \begin{cases} 1 & \text{$(i,j,k)$ が $1,2,3$ の順} \\ -1 & \text{$(i,j,k)$ が $1,2,3$ の逆順} \\ 0 & \text{$(i,j,k)$ に重複あり} \end{cases}$$ $$\begin{cases} \text{$1,2,3$ の順（偶置換）：} & (i,j,k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2) \\ \text{$1,2,3$ の逆順（奇置換）：} & (i,j,k)=(1,3,2),(3,2,1),(2,1,3) \end{cases}$$

Basic Problems

総和規約

問題

指標は $i,j,k,l,m,n\in{1,2,3}$ とする． 次の式を総和規約を用いずに表せ．

1. $a _ {i}b _ {i}$

2. $x _ {i}'=\alpha _ {ij}x _ {j}$

解答例

1. $\sum _ {i=1,2,3}a _ {i}b _ {i}$

2. $x _ {i}'=\sum _ {j}\alpha _ {ij}x _ {j}$

クロネッカーのデルタ

問題

次の式を示せ．

1. $\delta _ {ii}=3$

2. $\delta _ {ij}a _ {j}=a _ {i}$

3. $\delta _ {ij}e _ {ij}=e _ {ii}$

4. $x _ {i,j}=\delta _ {ij}$

解答例

1. $\delta _ {ii}=\delta _ {11}+\delta _ {22}+\delta _ {33}=3$

2. $i=j$ 以外で $\delta _ {ij}=0$ だから $\delta _ {ij}a _ {j}=\sum _ {j=1}^{3}\delta _ {ij}a _ {j}=a _ {i}$ ．

3. 各 $i$ で $j=i$ の項のみ残るから $\delta _ {ij}\alpha _ {ij}=\sum _ {i,j=1}^{3}\delta _ {ij}\alpha _ {ij}=\alpha _ {ii}$ ．

4. $x _ {i}$ は独立変数だから $x _ {i,j}=\pdv{x _ {i}}{x _ {j}}=\delta _ {ij}$ ．

ナブラ

問題

次の式を総和規約を用いて表せ．

1. $\div{\vb*{u}}$

2. $\curl{\vb*{u}}$

解答例

1. $\div{\vb*{u}}=\pdv{u _ {i}}{x _ {i}}=u _ {i,i}$

2. $\curl{\vb*{u}}=\varepsilon _ {ijk}\vb*{e} _ {i}\partial _ {j}u _ {k}=\varepsilon _ {ijk}\vb*{e} _ {i}u _ {k,j}$

Standard Problems

総和規約

問題

以下を総和規約を用いて表せ．

1. $\vb*{x}=x _ {1}\vb*{e} _ {1}+x _ {2}\vb*{e} _ {2}+x _ {3}\vb*{e} _ {3}$

2. $|\vb*{x}|=\sqrt{x _ {1}^{2}+x _ {2}^{2}+x _ {3}^{2}}$

3. $a _ {1}x _ {1}+a _ {2}x _ {2}+a _ {3}x _ {3}=a$

4. $u _ {1112}+u _ {2122}+u _ {3132}$

5. $\grad{f}$

6. $\Delta f$

解答例

1. $j\neq k$ かつ $m\neq l$ の場合を考える（ $j=k$ または $m=l$ なら両辺0で成立）．左辺は $i\neq j,k$ の項のみ残り， $(i,j,k)$ と $(i,l,m)$ が同じなら1， $(j,k)$ と $(l,m)$ が入れ替わっていたら $-1$ になるから $$\sum _ {i=1}^{3}\varepsilon _ {ijk}\varepsilon _ {ilm}=\delta _ {jl}\delta _ {km}-\delta _ {jm}\delta _ {kl}$$

2. $(i,j,k)$ が $(1,2,3)$ の順になるのは $(1,2,3)$，$(2,3,1)$，$(3,1,2)$ の3通り．逆順になるものも3通りあり，それ以外は0だから $$\sum _ {i,j,k=1}^{3}\varepsilon _ {ijk}^{2}=1^{2}\times3+(-1)^{2}\times3=6$$

3. $$\det[\alpha _ {ij}]=\mqty|\xmat*{\alpha}{3}{3}|=\varepsilon _ {ijk}\alpha _ {1i}\alpha _ {2j}\alpha _ {3k}$$

クロネッカーのデルタ

問題

以下を示せ．

1. $\delta _ {ij}=\delta _ {ji}$

2. $\delta _ {ij}\delta _ {ik}=\delta _ {jk}$

3. $\alpha _ {ik}\delta _ {kj}=\alpha _ {ij}$

4. $\vb*{e} _ {i}\cdot\vb*{e} _ {j}=\delta _ {ij}$

解答例

1. $\div{\vb*{u}}=\pdv{u _ {i}}{x _ {i}}=u _ {i,i}$

2. $\curl{\vb*{u}}=\varepsilon _ {ijk}\vb*{e} _ {i}\partial _ {j}u _ {k}=\varepsilon _ {ijk}\vb*{e} _ {i}u _ {k,j}$

3. $k=j$ の項以外は必ず0となるから $\alpha _ {ik}\to\delta _ {ij}$ と書き換えられ $$\sum _ {k=1}^{3}\alpha _ {ik}\delta _ {kj}=\alpha _ {ij}$$

4. たがいに直交するから $\vb*{e} _ {i}\cdot\vb*{e} _ {j}=0$ $(i\neq j)$ ．正規化されているから $\vb*{e} _ {i}\cdot\vb*{e} _ {i}=1$ ．よって $$\vb*{e} _ {i}\vb*{e} _ {j}=\delta _ {ij}$$

レヴィ・チビタ記号

問題

1. $\varepsilon _ {ijk}\varepsilon _ {ilm}=\delta _ {jl}\delta _ {km}-\delta _ {kl}\delta _ {jm}$ を示せ．

2. $\varepsilon _ {ijk}\varepsilon _ {ijk}=6$ を確かめよ．

3. $\det[\alpha _ {ij}]=\varepsilon _ {ijk}\alpha _ {i1}\alpha _ {j2}\alpha _ {k3}$ を示せ．

解答例

1. $$\delta _ {ij}=\delta _ {ji}=\begin{cases}1 & (i=j) \\0 & (i\neq j)\end{cases}$$

2. $i=j$ の項以外は必ず0となるから $\delta _ {ik}\to\delta _ {jk}$ と書き換えられ $$\sum _ {i=1}^{3}\delta _ {ij}\delta _ {ik}=\delta _ {jk}$$

3. $k=j$ の項以外は必ず0となるから $\alpha _ {ik}\to\delta _ {ij}$ と書き換えられ $$\sum _ {k=1}^{3}\alpha _ {ik}\delta _ {kj}=\alpha _ {ij}$$

4. たがいに直交するから $\vb*{e} _ {i}\cdot\vb*{e} _ {j}=0$ $(i\neq j)$ ．正規化されているから $\vb*{e} _ {i}\cdot\vb*{e} _ {i}=1$ ．よって $$\vb*{e} _ {i}\vb*{e} _ {j}=\delta _ {ij}$$

ベクトル外積

問題

$\vb*{a}\times\vb*{b}=-\vb*{b}\times\vb*{a}$ を示せ．

解答例

$$\vb*{a}\cross\vb*{b}=\varepsilon _ {ijk}\vb*{e} _ {i}a _ {j}b _ {k}=(-\varepsilon _ {ikj})\vb*{e} _ {i}a _ {j}b _ {k}=-\varepsilon _ {ikj}\vb*{e} _ {i}b _ {k}a _ {j}=-\vb*{b}\cross\vb*{a}$$

行列成分

問題

$A=[A _ {ij}],B=[B _ {ij}]$ で $C:= AB, D:= A^{T}B$ の成分を書き下せ．

解答例

$$C _ {ij}=A _ {ik}B _ {kj}\qc D _ {ij}=A _ {ki}B _ {kj}$$

レヴィ・チビタとクロネッカーデルタ

問題

以下を示せ．

1. $\varepsilon _ {ijk}\varepsilon _ {ijl}=2\delta _ {kl}$

2. $\varepsilon _ {ijk}\delta _ {jk}=0$

3. $\varepsilon _ {ijk}\varepsilon _ {lmn} = \begin{vmatrix} \delta _ {il} & \delta _ {im} & \delta _ {in} \\ \delta _ {jl} & \delta _ {jm} & \delta _ {jn} \\ \delta _ {kl} & \delta _ {km} & \delta _ {kn} \\ \end{vmatrix}$

解答例

1. $$\varepsilon _ {ijk}\varepsilon _ {ijl}=\begin{cases} 1 & (i,j,k)=(i,j,l) \\ 0 & (i,j,k)\neq(i,j,l)\end{cases}$$ より $k=l$ の場合を考える（ $k\neq l$ では両辺0で成立）． $\varepsilon _ {ijk}^{2}$ を $i$，$j$ について和をとればよいから， $(i,j,k)$ が $(1,2,3)$ と同順になる $(i,j)$ と逆順になる $(i,j)$ があるから $$\sum _ {i,j=1}^{3}\varepsilon _ {ijk}\varepsilon _ {ijl}=2\delta _ {kl}$$

2. $$\sum _ {j,k=1}^{3}\varepsilon _ {ijk}\delta _ {jk} \\ =\sum _ {j=1}^{3}\varepsilon _ {ijj}=0$$

3. $$\mqty|\delta _ {il} & \delta _ {im} & \delta _ {in} \\ \delta _ {jl} & \delta _ {jm} & \delta _ {jn} \\ \delta _ {kl} & \delta _ {km} & \delta _ {kn}|$$ $$=\delta _ {il}\delta _ {jm}\delta _ {kn}+\delta _ {im}\delta _ {jn}\delta _ {kl}+\delta _ {in}\delta _ {jl}\delta _ {km}-\delta _ {in}\delta _ {jm}\delta _ {kl}-\delta _ {im}\delta _ {jl}\delta _ {kn}-\delta _ {il}\delta _ {jn}\delta _ {km}$$ $$=\begin{cases} 1 & (i,j,k)=(l,m,n),(m,n,l),(n,l,m) \\ -1 & (i,j,k)=(n,m,l),(m,l,n),(l,n,m) \\ 0 & (\text{otherwise}) \end{cases}$$ これは $\varepsilon _ {ijk}\varepsilon _ {lmn}$ に等しい．