1.1.1.4 ベクトル解析

Simple Description

ナブラの作用

$\grad:=\vb*{e} _ {i}\partial _ {i}$ より

• 勾配: $\grad{f}=\vb*{e} _ {i}\partial _ {i}f$ ， $f$ の値が大きくなる方向に向くベクトル．

• 発散: $\div{\vb*{A}}=\partial _ {i}A _ {i}$ ，湧き出しに相当．

• 回転: $\curl{\vb*{A}}=\varepsilon _ {ijk}\vb*{e} _ {i}\partial _ {j}A _ {k}$ ，渦に相当し $\curl{\vb*{A}}=\vb*{0}$ を渦なしという．

• ラプラシアン: $\laplacian=\partial _ {i}\partial _ {i}$

位置ベクトルでの例

勾配

$$\grad{r}=\vb*{e} _ {i}\partial _ {i}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\vb*{e} _ {i}\frac{2r _ {i}}{2r}=\vu*{r}$$

発散

$$\div{\vb*{r}}=\vb*{e} _ {i}\partial _ {i}\cdot\vb*{r} _ {j}\vb*{e} _ {j}=\delta _ {ij}\vb*{e} _ {i}\cdot\vb*{e} _ {j}=\delta _ {ij}\delta _ {ij}=3$$

回転

$$\curl{\vb*{r}}=\varepsilon _ {ijk}\vb*{e} _ {i}\partial _ {j}r _ {k}=\varepsilon _ {ijk}\vb*{e} _ {i}\delta _ {jk}=0$$

ラプラシアン

$$\laplacian{r}=\partial _ {i}\partial _ {i}r=\partial _ {i}\frac{r _ {i}}{r}=\frac{\delta _ {ii}}{r}-\frac{2r _ {i}r _ {i}}{2r^{3}}=\frac{2}{r}$$

チェーンルール

$$\div(f\vb*{A})=\partial _ {i}fA _ {i}=(\partial _ {i}f)A _ {i}+f(\partial _ {i}A _ {i})=(\grad{f})\cdot\vb*{A}+f(\div{\vb*{A}})$$ $$\curl(f\vb*{A})=\varepsilon _ {ijk}\vb*{e} _ {i}\partial _ {j}fA _ {k}=\varepsilon _ {ijk}\vb*{e} _ {i}(\partial _ {j}f)A _ {k}+f\varepsilon _ {ijk}\vb*{e} _ {i}\partial _ {j}A _ {k}=(\grad{f})\cross\vb*{A}+f\curl{\vb*{A}}$$ $$\curl(\grad{f})=\varepsilon _ {ijk}\vb*{e} _ {i}\partial _ {j}\partial _ {k}f=\vb*{0}\quad(\because\text{Symmetry for the exchange of j and k})$$ $$\div(\curl{\vb*{A}})=\partial _ {i}\varepsilon _ {ijk}\partial _ {j}A _ {k}=\vb*{0}\quad(\because\text{Symmetry for the exchange of i and j})$$ $$\div(\vb*{A}\cross\vb*{B})=\partial _ {i}\varepsilon _ {ijk}A _ {j}B _ {k}=\varepsilon _ {ijk}(\partial _ {i}A _ {j})B _ {k}+A _ {j}\varepsilon _ {ijk}(\partial _ {i}B _ {k})=(\curl{\vb*{A}})\cdot\vb*{B}-\vb*{A}\cdot(\curl{\vb*{B}})$$ $$\begin{aligned} \curl(\curl{\vb*{A}}) & =\varepsilon _ {ijk}\vb*{e} _ {i}\partial _ {j}\varepsilon _ {klm}\partial _ {l}A _ {m}=(\delta _ {il}\delta _ {jm}-\delta _ {im}\delta _ {jl})\vb*{e} _ {i}\partial _ {j}\partial _ {l}A _ {m} \\ & =\vb*{e} _ {i}\partial _ {i}\partial _ {j}A _ {j}-\partial _ {j}\partial _ {j}A _ {i}\vb*{e} _ {i}=\grad(\div{\vb*{A}})-\laplacian\vb*{A} \end{aligned}$$

座標系とナブラ

2次元極座標

$x=r\cos{\theta}$，$y=r\sin{\theta}$ を満たす $(r,\theta)$ の座標である．よって $r$，$\theta$ が増す方向は $$\pdv{\vb*{r}}{r}=\mqty(\cos{\theta} \\ \sin{\theta})\qc\pdv{\vb*{r}}{\theta}=\mqty(-r\sin{\theta} \\ r\cos{\theta})\quad\therefore\vb*{e} _ {r}=\mqty(\cos{\theta} \\ \sin{\theta})\qc\vb*{e} _ {\theta}=\mqty(-\sin{\theta} \\ \cos{\theta})$$

円筒座標

$(r,\theta,z)$ の座標で，基底ベクトルは $\vb*{e} _ {r}$，$\vb*{e} _ {\theta}$，$\vb*{e} _ {z}$ である．長さの次元をもつ $\dd{\vb*{r}}=\dd{r}\vb*{e} _ {r}+r\dd{\theta}\vb*{e} _ {\theta}+\dd{z}\vb*{e} _ {z}$ に対して $\dd{\vb*{r}}\cdot\grad{f}=\dd{f}\qty(:=\pdv{f}{r}\dd{r}+\pdv{f}{\theta}\dd{\theta}+\pdv{f}{z}\dd{z})$ であるから $$\grad=\vb*{e} _ {r}\partial _ {r}+\vb*{e} _ {\theta}\frac{\partial _ {\theta}}{r}+\vb*{e} _ {z}\partial _ {z}$$ 基底ベクトルへの作用を考慮して（基底以外への作用は基底の直交性で消える） $$\begin{aligned} \laplacian & =\partial _ {r}^{2}+\vb*{e} _ {\theta}\cdot\frac{\partial _ {\theta}}{r}\vb*{e} _ {r}\partial _ {r}+\vb*{e} _ {\theta}\cdot\frac{\partial _ {\theta}}{r}\vb*{e} _ {\theta}\frac{\partial _ {\theta}}{r}+\partial _ {z}^{2} \\ & =\partial _ {r}^{2}+\frac{\partial _ {r}}{r}+\vb*{e} _ {\theta}\cdot\frac{-\vb*{e} _ {r}}{r}\frac{\partial _ {\theta}}{r}+\frac{\partial _ {\theta}^{2}}{r^{2}}+\partial _ {z}^{2} \\ & =\frac{\partial _ {r}}{r}(r\partial _ {r})+\frac{\partial _ {\theta}^{2}}{r^{2}}+\partial _ {z}^{2} \end{aligned}$$

極座標

$x=r\sin{\theta}\cos{\phi}$，$y=r\sin{\theta}\sin{\phi}$，$z=r\cos{\theta}$ を満たす $(r,\theta,\phi)$ の座標で，基底は $$\vb*{e} _ {r}=\mqty(\sin{\theta}\cos{\phi} \\ \sin{\theta}\sin{\phi} \\ \cos{\theta})\qc\vb*{e} _ {\theta}=\mqty(\cos{\theta}\cos{\phi} \\ \cos{\theta}\sin{\phi} \\ -\sin{\theta})\qc\vb*{e} _ {\phi}=\mqty(-\sin{\phi} \\ \cos{\phi} \\ 0)$$ $\dd{\vb*{r}}=\dd{r}\vb*{e} _ {r}+r\dd{\theta}\vb*{e} _ {\theta}+r\sin{\theta}\dd{\phi}\vb*{e} _ {\phi}$ に対し $\dd{\vb*{r}}\cdot\grad{f}=\dd{f}$ であるから $$\grad=\vb*{e} _ {r}\partial _ {r}+\vb*{e} _ {\theta}\frac{\partial _ {\theta}}{r}+\vb*{e} _ {\phi}\frac{\partial _ {\phi}}{r\sin{\theta}}$$ $$\begin{aligned} \laplacian & =\partial _ {r}^{2}+\vb*{e} _ {\theta}\cdot\frac{\partial _ {\theta}}{r}\vb*{e} _ {r}\partial _ {r}+\vb*{e} _ {\theta}\cdot\frac{\partial _ {\theta}}{r}\vb*{e} _ {\theta}\frac{\partial _ {\theta}}{r} \\ & \quad+\vb*{e} _ {\phi}\cdot\frac{\partial _ {\phi}}{r\sin{\theta}}\vb*{e} _ {r}\partial _ {r}+\vb*{e} _ {\phi}\cdot\frac{\partial _ {\phi}}{r\sin{\theta}}\vb*{e} _ {\phi}\frac{\partial _ {\phi}}{r}+\vb*{e} _ {\phi}\cdot\frac{\partial _ {\phi}}{r\sin{\theta}}\vb*{e} _ {\phi}\frac{\partial _ {\phi}}{r\sin{\theta}} \\ & =\partial _ {r}^{2}+\vb*{e} _ {\theta}\cdot\frac{\vb*{e} _ {\theta}}{r}\partial _ {r}+\vb*{e} _ {\theta}\cdot\frac{-\vb*{e} _ {r}}{r}\frac{\partial _ {\theta}}{r}+\frac{\partial _ {\theta}^{2}}{r^{2}} \\ & \quad+\vb*{e} _ {\phi}\cdot\frac{\vb*{e} _ {\phi}}{r}\partial _ {r}+\vb*{e} _ {\phi}\cdot\frac{\vb*{e} _ {\phi}}{r\tan{\theta}}\frac{\partial _ {\theta}}{r}+\vb*{e} _ {\phi}\cdot\smqty(-\cos{\phi} \\ -\sin{\phi} \\ 0)\frac{\partial _ {\phi}}{r^{2}\sin^{2}{\theta}}+\frac{\partial _ {\phi}^{2}}{r^{2}\sin^{2}{\theta}} \\ & =\partial _ {r}^{2}+2\frac{\partial _ {r}}{r}+\frac{\partial _ {\theta}^{2}}{r^{2}}+\frac{\partial _ {\theta}}{r^{2}\tan{\theta}}+\frac{\partial _ {\phi}^{2}}{r^{2}\sin^{2}{\theta}} \\ & =\frac{\partial _ {r}}{r^{2}}(r^{2}\partial _ {r})+\frac{\partial _ {\theta}}{r^{2}\sin{\theta}}(\sin{\theta}\partial _ {\theta})+\frac{\partial _ {\phi}^{2}}{r^{2}\sin^{2}{\theta}} \end{aligned}$$

ガウスの定理

点 $(x,y,z)$ を頂点とし各面が $x$，$y$，$z$ 軸に垂直な微小直方体 $\dd{x}\dd{y}\dd{z}$ において $\vb*{A}\cdot\dd{\vb*{S}}$ を計算する． $x$ 軸に垂直な面に対して計算すると $$\begin{aligned} & \vb*{A}(x+\dd{x},y,z)\cdot\dd{y}\dd{z}\vb*{e} _ {x}+\vb*{A}(x,y,z)\cdot\dd{y}\dd{z}(-\vb*{e} _ {x}) \\ & =\frac{A _ {x}(x+\dd{x},y,z)-A _ {x}(x,y,z)}{\dd{x}}\dd{x}\dd{y}\dd{z}=\pdv{A _ {x}}{x}\dd{V} \end{aligned}$$ $y$ 軸， $z$ 軸に垂直な面に対しても同様だから $\vb*{A}\cdot\dd{\vb*{S}}=\div{\vb*{A}}\dd{V}$ ．隣接する直方体においては，同じ面に対しての $\vb*{A}\cdot\dd{\vb*{S}}$ は $\dd{\vb*{S}}$ の符号が逆でキャンセルされるため，任意の領域 $V$ を微小直方体に分割して和をとると最終的に残るのは外側の面での $\vb*{A}\cdot\dd{\vb*{S}}$ の積分になって $$\int _ {S}\vb*{A}\cdot\dd{\vb*{S}}=\int _ {V}\div{\vb*{A}}\dd{V}$$

ストークスの定理

点 $(x,y)$ を頂点とし各辺が $x$，$y$ 軸に垂直な微小長方形 $\dd{x}\dd{y}$ において $\vb*{A}\cdot\dd{\vb*{r}}$ を計算する． $x$ 軸に垂直な辺に対して計算すると $$\vb*{A}(x+\dd{x},y)\cdot\dd{y}\vb*{e} _ {y}+\vb*{A}(x,y)\cdot\dd{y}(-\vb*{e} _ {y})=\frac{A _ {y}(x+\dd{x},y)-A _ {y}(x,y)}{\dd{x}}\dd{x}\dd{y}=\pdv{A _ {y}}{x}\dd{S}$$ $y$ 軸に垂直な辺に対しては $$\vb*{A}(x,y+\dd{y})\cdot\dd{y}(-\vb*{e} _ {x})+\vb*{A}(x,y)\cdot\dd{y}\vb*{e} _ {x}=\frac{-A _ {x}(x,y+\dd{y})+A _ {x}(x,y)}{\dd{y}}\dd{x}\dd{y}=-\pdv{A _ {x}}{y}\dd{S}$$ であり， $xy$ 平面から任意の平面に拡張すると $\vb*{A}\cdot\dd{\vb*{r}}=(\curl{\vb*{A}})\cdot\dd{\vb*{S}}$ と書ける．隣接する長方形においては，同じ辺に対しての $\vb*{A}\cdot\dd{\vb*{r}}$ は $\dd{\vb*{r}}$ の符号が逆でキャンセルされるため，任意の曲面 $S$ を微小長方形に分割して和をとると最終的に残るのは外側の経路での $\vb*{A}\cdot\dd{\vb*{r}}$ の積分になって $$\oint _ {C}\vb*{A}\cdot\dd{\vb*{r}}=\int _ {S}\curl{\vb*{A}}\cdot\dd{\vb*{S}}$$

Basic Problems

ナブラ

問題

$\vb*{E} _ {0}$，$\vb*{k}$ を定数として $\vb*{E}=\vb*{E} _ {0}\sin(\vb*{k}\cdot\vb*{r}-\omega t)$ について次を計算せよ．

1. $\grad{E _ {x}}$

2. $\div{\vb*{E}}$

3. $\curl{\vb*{E}}$

4. $\laplacian{\vb*{E}}$

解答例

1. $\vb*{e} _ {i}\partial _ {i}{E _ {0x}}\sin(\vb*{k}\cdot\vb*{r}-\omega t)=\vb*{e} _ {i}k _ {i}E _ {0x}\cos(\vb*{k}\cdot\vb*{r}-\omega t)=\vb*{k}E _ {0x}\cos(\vb*{k}\cdot\vb*{r}-\omega t)$

2. $\partial _ {i}E _ {i}\sin(\vb*{k}\cdot\vb*{r}-\omega t)=k _ {i}E _ {i}\cos(\vb*{k}\cdot\vb*{r}-\omega t)=\vb*{k}\cdot\vb*{E}\cos(\vb*{k}\cdot\vb*{r}-\omega t)$

3. $\varepsilon _ {ijk}\vb*{e} _ {i}\partial _ {j}E _ {0k}\sin(\vb*{k}\cdot\vb*{r}-\omega t)=\vb*{k}\cross\vb*{E}\sin(\vb*{k}\cdot\vb*{r}-\omega t)$

4. $\partial _ {i}\partial _ {i}\vb*{E} _ {0}\sin(\vb*{k}\cdot\vb*{r}-\omega t)=-\vb*{k}^{2}\vb*{E}$

チェーンルール

問題

次式を示せ．

1. $\div{(f\vb*{A})}=(\grad{f})\cdot\vb*{A}+f\div{\vb*{A}}$

2. $\curl{f\vb*{A}}=(\grad{f})\cross\vb*{A}+f\curl{\vb*{A}}$

3. $\curl{(\curl{\vb*{A}})}=\vb*{0}$

4. $\div(\curl{\vb*{A}})$

5. $\div{(\vb*{A}\cross\vb*{B})}=(\curl{\vb*{A}})\cdot\vb*{B}-\vb*{A}\cdot(\curl{\vb*{B}})$

6. $\curl{(\curl{\vb*{A}})}=\grad(\div{\vb*{A}})-\laplacian\vb*{A}$

解答例

1. $\div(f\vb*{A})=\partial _ {i}fA _ {i}=(\partial _ {i}f)A _ {i}+f(\partial _ {i}A _ {i})=(\grad{f})\cdot\vb*{A}+f(\div{\vb*{A}})$

2. $\curl(f\vb*{A})=\varepsilon _ {ijk}\vb*{e} _ {i}\partial _ {j}fA _ {k}=\varepsilon _ {ijk}\vb*{e} _ {i}(\partial _ {j}f)A _ {k}+f\varepsilon _ {ijk}\vb*{e} _ {i}\partial _ {j}A _ {k}=(\grad{f})\cross\vb*{A}+f\curl{\vb*{A}}$

3. $\curl(\grad{f})=\varepsilon _ {ijk}\vb*{e} _ {i}\partial _ {j}\partial _ {k}f=\vb*{0}\quad(\because\text{Symmetry for the exchange of j and k})$

4. $\div(\curl{\vb*{A}})=\partial _ {i}\varepsilon _ {ijk}\partial _ {j}A _ {k}=\vb*{0}\quad(\because\text{Symmetry for the exchange of i and j})$

5. $\div(\vb*{A}\cross\vb*{B})=\partial _ {i}\varepsilon _ {ijk}A _ {j}B _ {k}=\varepsilon _ {ijk}(\partial _ {i}A _ {j})B _ {k}+A _ {j}\varepsilon _ {ijk}(\partial _ {i}B _ {k})=(\curl{\vb*{A}})\cdot\vb*{B}-\vb*{A}\cdot(\curl{\vb*{B}})$

6. $\curl(\curl{\vb*{A}})=\varepsilon _ {ijk}\vb*{e} _ {i}\partial _ {j}\varepsilon _ {klm}\partial _ {l}A _ {m}=(\delta _ {il}\delta _ {jm}-\delta _ {im}\delta _ {jl})\vb*{e} _ {i}\partial _ {j}\partial _ {l}A _ {m}=\vb*{e} _ {i}\partial _ {i}\partial _ {j}A _ {j}-\partial _ {j}\partial _ {j}A _ {i}\vb*{e} _ {i}=\grad(\div{\vb*{A}})-\laplacian\vb*{A}$

Standard Problems

極座標のナブラ

問題

極座標 $(r,\theta,\phi)$ の基底は次で書ける． $$\vb*{e} _ {r}=\mqty(\sin{\theta}\cos{\phi} \\ \sin{\theta}\sin{\phi} \\ \cos{\theta})\qc\vb*{e} _ {\theta}=\mqty(\cos{\theta}\cos{\phi} \\ \cos{\theta}\sin{\phi} \\ -\sin{\theta})\qc\vb*{e} _ {\phi}=\mqty(-\sin{\phi} \\ \cos{\phi} \\ 0)$$ $\dd{\vb*{r}}=\dd{r}\vb*{e} _ {r}+r\dd{\theta}\vb*{e} _ {\theta}+r\sin{\theta}\dd{\phi}\vb*{e} _ {\phi}$ と書けることからナブラとラプラシアンを極座標表示せよ．

解答例

$\dd{\vb*{r}}\cdot\grad{f}=\dd{f}$ であるから $$\grad=\vb*{e} _ {r}\partial _ {r}+\vb*{e} _ {\theta}\frac{\partial _ {\theta}}{r}+\vb*{e} _ {\phi}\frac{\partial _ {\phi}}{r\sin{\theta}}$$ $$\begin{aligned} \laplacian & =\partial _ {r}^{2}+\vb*{e} _ {\theta}\cdot\frac{\partial _ {\theta}}{r}\vb*{e} _ {r}\partial _ {r}+\vb*{e} _ {\theta}\cdot\frac{\partial _ {\theta}}{r}\vb*{e} _ {\theta}\frac{\partial _ {\theta}}{r} \\ & \quad+\vb*{e} _ {\phi}\cdot\frac{\partial _ {\phi}}{r\sin{\theta}}\vb*{e} _ {r}\partial _ {r}+\vb*{e} _ {\phi}\cdot\frac{\partial _ {\phi}}{r\sin{\theta}}\vb*{e} _ {\phi}\frac{\partial _ {\phi}}{r}+\vb*{e} _ {\phi}\cdot\frac{\partial _ {\phi}}{r\sin{\theta}}\vb*{e} _ {\phi}\frac{\partial _ {\phi}}{r\sin{\theta}} \\ & =\partial _ {r}^{2}+\vb*{e} _ {\theta}\cdot\frac{\vb*{e} _ {\theta}}{r}\partial _ {r}+\vb*{e} _ {\theta}\cdot\frac{-\vb*{e} _ {r}}{r}\frac{\partial _ {\theta}}{r}+\frac{\partial _ {\theta}^{2}}{r^{2}} \\ & \quad+\vb*{e} _ {\phi}\cdot\frac{\vb*{e} _ {\phi}}{r}\partial _ {r}+\vb*{e} _ {\phi}\cdot\frac{\vb*{e} _ {\phi}}{r\tan{\theta}}\frac{\partial _ {\theta}}{r}+\vb*{e} _ {\phi}\cdot\smqty(-\cos{\phi} \\ -\sin{\phi} \\ 0)\frac{\partial _ {\phi}}{r^{2}\sin^{2}{\theta}}+\frac{\partial _ {\phi}^{2}}{r^{2}\sin^{2}{\theta}} \\ & =\partial _ {r}^{2}+2\frac{\partial _ {r}}{r}+\frac{\partial _ {\theta}^{2}}{r^{2}}+\frac{\partial _ {\theta}}{r^{2}\tan{\theta}}+\frac{\partial _ {\phi}^{2}}{r^{2}\sin^{2}{\theta}} \\ & =\frac{\partial _ {r}}{r^{2}}(r^{2}\partial _ {r})+\frac{\partial _ {\theta}}{r^{2}\sin{\theta}}(\sin{\theta}\partial _ {\theta})+\frac{\partial _ {\phi}^{2}}{r^{2}\sin^{2}{\theta}} \end{aligned}$$

ガウスの定理

問題

点 $\vb*{r}$ に微小直方体 $\dd{V}=\dd{x}\dd{y}\dd{z}$ を考え，各面の $\vb*{A}\cdot\dd{\vb*{S}}$ の和が $\div{\vb*{A}}\dd{V}$ となることを示せ．また，隣接する微小直方体の接している面で $\vb*{A}\cdot\dd{\vb*{S}}$ が相殺することから，ガウスの定理を示せ．

解答例

$x$ 軸に垂直な2面で $\vb*{A}\cdot\dd{\vb*{S}}$ の和をとると $$\begin{aligned} & \vb*{A}\qty(x+\frac{\dd{x}}{2},y,z)\cdot\dd{y}\dd{z}\vb*{e} _ {x}+\vb*{A}\qty(x-\frac{\dd{x}}{2},y,z)\cdot\dd{y}\dd{z}(-\vb*{e} _ {x}) \\ & =\qty(A _ {x}\qty(x+\frac{\dd{x}}{2},y,z)-A _ {x}\qty(x-\frac{\dd{x}}{2},y,z) )\dd{y}\dd{z}=\pdv{A _ {x}}{x}\dd{x}\dd{y}\dd{z} \end{aligned}$$ $y$，$z$ 軸に垂直な2面でも和をとると $\div{\vb*{A}}\dd{V}$ ．領域 $V$ を微小直方体に分割して，各直方体の $\vb*{A}\cdot\dd{\vb*{S}}$ を合わせると，内部の直方体では相殺するから， $V$ の表面 $S$ についての積分 $\int _ {S}\dd{\vb*{S}}\cdot\vb*{A}$ だから， $\int _ {S}\dd{\vb*{S}}\cdot\vb*{A}=\int _ {V}\dd{V}\div{\vb*{A}}$ ．

ストークスの定理

問題

点 $\vb*{r}=(x,y,0)$ に微小長方形 $\dd{S} _ {z}=\dd{x}\dd{y}$ を考え，各辺の $z$ 軸方向に右ねじを回す向きの線素 $\dd{\vb*{r}}$ に対し $\vb*{A}\cdot\dd{\vb*{r}}$ の和が $(\curl{\vb*{A}})\cdot\dd{S _ {z}}\vb*{e} _ {z}$ となることを示せ．また，隣接する微小長方形の接している辺で $\vb*{A}\cdot\dd{\vb*{r}}$ が相殺することからストークスの定理を示せ．

解答例

微小長方形での $\vb*{A}\cdot\dd{\vb*{r}}$ の和は $$\begin{aligned} & A _ {x}\qty(x,y-\frac{\dd{y}}{2},0)\dd{x}+A _ {y}\qty(x+\frac{\dd{x}}{2},y,0)\dd{y} \\ & -A _ {x}\qty(x,y+\frac{\dd{y}}{2},0)\dd{x}-A _ {y}\qty(x-\frac{\dd{x}}{2},y,0)\dd{y} \\ & =\qty(\pdv{A _ {y}}{x}-\pdv{A _ {x}}{y})\dd{x}\dd{y}=(\curl{\vb*{A}})\cdot\dd{S} _ {z}\vb*{e} _ {z} \end{aligned}$$ 面 $S$ を微小長方形に分割して，各面ベクトルに上と同じ座標軸の設定で $(\curl{\vb*{S}})\cdot\dd{\vb*{S}}$ と計算されることを用いると， $\int _ {S}\dd{\vb*{S}}\cdot(\curl{\vb*{S}})$ ．一方で各長方形の $\vb*{A}\cdot\dd{\vb*{r}}$ を合わせると，内部の長方形では相殺するから， $\vb*{S}$ 方向に右ねじが進む向きの周の経路 $C$ についての積分 $\oint _ {C}\dd{\vb*{r}}\vb*{A}$ だから， $\oint _ {C}\dd{\vb*{r}}\cdot\vb*{A}=\int _ {S}\dd{\vb*{S}}\cdot(\curl{\vb*{A}})$ ．

ポアソン方程式のグリーン関数

問題

1. $\grad(\frac{1}{r})$ を計算せよ．

2. 原点中心の半径 $R$ の球 $V$ で $\int _ {V}\dd{V}\div{\qty(\frac{\vb*{r}}{r^{3}})}$ を計算せよ．

3. 以上の結果から $\delta(\vb*{r}-\vb*{r}')=\laplacian G(\vb*{r},\vb*{r}')$，$G(\vb*{r},\vb*{r}')=\frac{1}{4\pi\abs{\vb*{r}-\vb*{r}'}}$ を示せ．

4. ポアソン方程式 $\laplacian\phi(\vb*{r})=-\frac{\rho(\vb*{r})}{\varepsilon _ {0}}$ の解 $\phi(\vb*{r})$ を積分を含む形で求めよ．

解答例

1. $\grad(\frac{1}{r})=\frac{\vb*{r}}{r^{3}}$

2. $\int _ {V}\dd{V}\div(\frac{\vb*{r}}{r^{3}})=\int _ {S}\dd{\vb*{S}}\cdot\frac{\vb*{r}}{r^{3}}=4\pi$

3. $R>0$ に対し常に $\int _ {V}\dd{V}\div(\frac{\vb*{r}}{r^{3}})=4\pi$ より $\div(\frac{\vb*{r}}{r^{3}})=4\pi\delta(\vb*{r}-\vb*{0})$ ．したがって $\delta(\vb*{r}-\vb*{r}')=\div(\frac{\vb*{r}}{4\pi\abs{\vb*{r}-\vb*{r}'}^{3}})=\div\grad(\frac{1}{4\pi\abs{\vb*{r}-\vb*{r}'}})=\laplacian G(\vb*{r},\vb*{r}')$ ．

4. $\phi(\vb*{r})=-\int _ {V}\dd{V'}\frac{\rho(\vb*{r}')}{\varepsilon _ {0}}G(\vb*{r},\vb*{r}')$ を代入すれば， $\laplacian$ を掛けたとき $\vb*{r}'$ からの $\rho(\vb*{r}')$ の寄与をデルタ関数によって遮断し，ポアソン方程式を満たすことが分かる．電位 $\phi(\vb*{r})=\int _ {V}\frac{\rho(\vb*{r}')\dd{V'}}{4\pi\varepsilon _ {0}\abs{\vb*{r}-\vb*{r}'}}$ は全空間の電荷の寄与を受ける．