7.1.1.1 量子力学からQFTへ
QFT（Quantum Field Theory:
場の量子論）は，量子力学と特殊相対性理論を組み合わせた理論的枠組みである．量子力学はミクロな系の理論，特殊相対性理論は高エネルギー物理の理論で，重力を考慮せず光速に近い速度の系を議論する場合に両者は不可欠である． 不確定性関係
$\varDelta{\hat{x}}\varDelta{\hat{p}}\geq\frac{\hbar}{2}$ 正準交換関係 $\comm{\hat{x}}{\hat{p}}=i\hbar$ 調和振動子のハミルトニアン
$\hat{H}=\hbar\omega\qty(\hat{N}+\frac{1}{2})$ 摂動
$\delta{E _ {0}}=\ev{\delta{V}}{0}+\sum _
{n>0}\frac{\abs{\mel{0}{\delta{V}}{n}}^{2}}{E _ {0}-E _ {n}}$ 特殊相対論の有名な式 $E=mc^{2}$
が示唆する通り，エネルギーがあれば粒子を生成できる．粒子数の保存から粒子と反粒子が同時に生成する対生成や，粒子の種類の変化が生じる． 量子力学の調和振動子のハミルトニアンは，数演算子
$\hat{N}=\hat{a}^{\dagger}\hat{a}$
に比例するエネルギーを表しており，場の量子論の自由場のハミルトニアンも同様の表式になる．生成消滅演算子
$\hat{a}^{\dagger}$，$\hat{a}$ は粒子の生成・消滅に対応する． 非相対論的量子力学のシュレディンガー方程式では，複数の粒子を扱うことはできても，粒子の生成・消滅や種類が変わる現象を扱うことはできない．そこで相対論的量子力学が考えられた． まず，相対論的力学から $E^{2}=\vb*{p}^{2}c^{2}+(mc^{2})^{2}$
を演算子で置き換えたクライン・ゴルドン方程式
$\qty(\frac{1}{c^{2}}\pdv[2]{t}-\pdv[2]{x})\psi=\frac{m^{2}c^{2}}{\hbar^{2}}\psi$
が考案された．しかし，負の確率を与えるという望ましくない性質や，負のエネルギー状態をもつという不可解な性質があった． シュレディンガー方程式の2乗の次元の方程式であるために負の確率が出たため，適当な行列
$\vb*{\alpha}=\vb*{e} _ {i}\alpha _ {i}$，$\beta$
でシュレディンガー方程式と同じ次元で方程式を構成すると，ディラック方程式
$$i\hbar\pdv{t}\psi=\vb*{\alpha}\cdot\vb*{p}c{\psi}+\beta mc^{2}\psi$$
を得る．これもまた負のエネルギー状態をもつ． 完全に量子力学と特殊相対性理論を両立するには，見方を変える必要がある．量子力学では位置
$\hat{x}$ は演算子で $t$
はパラメータであったが，相対論的にはこれらは同列に扱うのが自然である．そこで
$t$ と $x$
は時空点を指定するパラメータに，波動関数は粒子の生成や消滅を扱う演算子（場）に役回りを変更する．場
$\hat{\phi}(x,t)$ に対し $\hat{p}$ の役割を果たす場を $\hat{\pi}(x,t)$
とすると，正準交換関係は同時刻交換関係
$$\comm{\hat{\phi}(x,t)}{\hat{\pi}(y,t)}=i\hbar\delta(x-y)$$
に置き換わる．位置と運動量の演算子の量子化を第一量子化というのに対し，場の量子化を第二量子化という． また，系が対称性をもつ変換に対してラグランジアンが不変性であることから，場の理論ではラグランジアン
$L=T-V$ を使用することがある．古典力学では作用 $S=\int\dd{t}L$
を最小にする経路として粒子の運動を決定したが，場の量子論への適用は後の章で議論する．
Simple Description
量子力学の復習
対生成
相対論的量子力学
場の導入
Basic Problems
調和振動子
ハミルトニアンを次で与える．ハイゼンベルグ方程式 $i\hbar\dv{O}{t}=\comm{O}{H}$ から角振動数を求めよ． $$H=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{m\omega^{2}}{2}x^{2}$$
消滅演算子を次で与える．エルミート共役を生成演算子として交換関係と反交換関係を求めよ． $$a=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\qty(x+\frac{i}{m\omega}p)$$
ハイゼンベルグ方程式から $a(t)$，$a^{\dagger}(t)$ を求めよ．
個数演算子 $N=a^{\dagger}a$ の固有値 $n$ が非負整数となることを示せ．
基底状態の規格化された波動関数 $\phi _ {0}$ を求め，これと $a^{\dagger}$ を用いて固有値 $n$ の規格化された固有関数 $\phi _ {n}$ を求めよ．
規格直交関係 $\ip{\phi _ {m}}{\phi _ {n}}=\delta _ {mn}$ を示せ．
解答例
ハイゼンベルグ方程式より $$\dot{x}=\frac{1}{i\hbar}\comm{x}{H}=\frac{p}{m}\qc\dot{p}=\frac{1}{i\hbar}\comm{p}{H}=-m\omega^{2}$$ よって $\ddot{x}=-\omega^{2}x$ より角振動数は $\pm\omega$ ．
$x$，$p$ はエルミートだから，生成演算子は $a^{\dagger}=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\qty(x-\frac{i}{m\omega}p)$ ．よって $$\begin{aligned} \comm{a}{a^{\dagger}} & =\frac{m\omega}{2\hbar}\frac{-i}{m\omega}\qty(\comm{x}{p}-\comm{p}{x})=1 \\ \acomm{a^{\dagger}}{a} & =2a^{\dagger}a+\comm{a}{a^{\dagger}}=\frac{m\omega}{\hbar}x^{2}+\frac{p^{2}}{m\hbar\omega} \end{aligned}$$
$H=\hbar\omega\qty(N+\frac{1}{2})$，$\comm{N}{a}=-a$，$\comm{N}{a^{\dagger}}=a^{\dagger}$ が示されるから，ハイゼンベルグ方程式より $$\dot{a}=\frac{1}{i\hbar}\comm{a}{H}=-i\omega a\qc\dot{a^{\dagger}}=\frac{1}{i\hbar}\comm{a^{\dagger}}{H}=i\omega a^{\dagger}$$ この微分方程式を解いて $$a(t)=-i\omega t+a(0)\qc a^{\dagger}(t)=i\omega t+a^{\dagger}(0)$$
$n=\ev{N}{\psi}=\norm{a\ket{\psi}}^{2}\geq0$ より非負． $n\notin\mathbb{Z}$ とすると，整数 $m>n$ が取れて $a^{m}\ket{n}\neq0$ かつ $Na^{m}\ket{n}=-(m-n)a^{m}\ket{n}$ となり矛盾．よって $n$ は非負整数．
$a\phi _ {0}=0$ より $$\qty(x+\frac{\hbar}{m\omega}\pdv{x})\phi _ {0}=0\quad\therefore\phi _ {0}(x)=Ae^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^{2}}$$ 規格化は $$1=\int\dd{x}\abs{\phi _ {0}}^{2}=\abs{A}^{2}\sqrt{\frac{\pi\hbar}{m\omega}}\quad\therefore\phi _ {0}(x)=\qty(\frac{m\omega}{\pi\hbar})^{\frac{1}{4}}e^{-\frac{m\omega}{\hbar}x^{2}}$$ また $$N(a^{\dagger})^{n}\phi _ {0}=n(a^{\dagger})^{n}\phi _ {0}\quad\therefore\phi _ {n}\propto(a^{\dagger})^{n}\phi _ {0}$$ 規格化は $$\ip{a^{\dagger}\phi _ {n}}=\ev{(\comm{a}{a^{\dagger}}+N)}{\phi _ {n}}=n+1\quad\therefore\phi _ {n+1}=\frac{a^{\dagger}}{\sqrt{n+1}}\phi _ {n}$$ ゆえに $\phi _ {n}=\frac{(a^{\dagger})^{n}}{\sqrt{n!}}\phi _ {0}$ ．
$m>n$ とすると $\ip{\phi _ {m}}{\phi _ {n}}=\mel{\phi _ {0}}{\frac{a^{m}}{\sqrt{m!}}\frac{(a^{\dagger})^{n}}{\sqrt{n!}}}{\phi _ {0}}=0$， $n>m$ なら $\ip{\phi _ {m}}{\phi _ {n}}=\ip{\phi _ {n}}{\phi _ {m}}^{\ast}=0$ ， $n=m$ なら前問よりノルムは1．よって $\ip{\phi _ {m}}{\phi _ {n}}=\delta _ {mn}$ ．
Standard Problems
相対論的効果と多粒子状態
解答例
多粒子状態 $E _ {n}$ の影響は摂動論から $\abs{\sum _ {n}\frac{\mel{0}{\delta{V}}{n}}{E _ {0}-E _ {n}}}\sim\frac{mv^{2}}{mc^{2}}=\beta^{2}$ $\qty(\beta=\frac{v}{c})$ 程度， $\gamma$ 係数は $\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\simeq1-\frac{\beta^{2}}{2}$ であるから，相対論的効果のオーダーは $\beta^{2}$ 程度．相対論的効果が表れる高エネルギー現象を扱う場合は多粒子状態を考慮する必要がある．
交換関係・反交換関係
解答例
$\comm{A}{B}=-\comm{B}{A}$ と $\comm{AB}{C}=A\comm{B}{C}+\comm{A}{C}B$ を用いて $$\begin{aligned} \comm{N}{a} & =\frac{1}{2}\comm{a^{\dagger}a+aa^{\dagger}}{a}=-a \\ \comm{N}{a^{\dagger}} & =\frac{1}{2}\comm{a^{\dagger}a+aa^{\dagger}}{a^{\dagger}}=a^{\dagger} \end{aligned}$$
$\acomm{A}{B}=\acomm{B}{A}$ と $\comm{AB}{C}=A\acomm{B}{C}-\acomm{A}{C}B$ を用いて $$\begin{aligned} \comm{N}{a} & =\frac{1}{2}\comm{a^{\dagger}a-aa^{\dagger}}{a}=\frac{1}{2}\qty(-\acomm{a^{\dagger}}{a}a-a\acomm{a^{\dagger}}{a})=-a \\ \comm{N}{a^{\dagger}} & =\frac{1}{2}\comm{a^{\dagger}a-aa^{\dagger}}{a^{\dagger}}=\frac{1}{2}\qty(a^{\dagger}\acomm{a}{a^{\dagger}}+\acomm{a}{a^{\dagger}}a^{\dagger})=a^{\dagger} \end{aligned}$$
$x=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(a+a^{\dagger})$，$p=-i\sqrt{\frac{m\hbar\omega}{2}}(a-a^{\dagger})$ より $$\begin{aligned} \acomm{x}{p} & =\frac{\hbar}{2i}\acomm{a+a^{\dagger}}{a-a^{\dagger}}=0 \\ \acomm{x}{x} & =\frac{\hbar}{2m\omega}\acomm{a+a^{\dagger}}{a+a^{\dagger}}=\frac{\hbar}{m\omega} \\ \acomm{p}{p} & =-\frac{m\hbar\omega}{2}\acomm{a-a^{\dagger}}{a-a^{\dagger}}=m\hbar\omega \end{aligned}$$
$N=\frac{1}{2}\comm{a^{\dagger}}{a}$ より $\comm{J _ {+}}{J _ {-}}=2\hbar J _ {z}$ ，ハミルトンの交換関係より $\comm{J _ {z}}{J _ {\pm}}=\pm\hbar J _ {\pm}$ ．
