QFTの理解において重要な点を押さえる． 特殊相対論は特殊相対性原理と光速度不変の原理から導かれる．特殊相対性原理はどの慣性系でも運動方程式が不変であるという原理，光速度不変の原理は真空中の光速はマクスウェル理論に従い，光源の運動状態に無関係でどの慣性系でも一定という原理である．慣性系とはニュートン力学の第1法則である慣性の法則が成り立つ系である．任意の慣性系で法則が同じ形であることをローレンツ共変という． 特殊相対論では距離と時間は同時に測るため時空点は $(ct,x,y,z)$
で指定する．任意の慣性系で光が $t$ 秒後に到達する地点 $\vb*{x}=(x,y,z)$
までの距離は $ct$ だから，変換により固有時 $t$ が異なっても
$(c\varDelta{t})^{2}-(\varDelta{\vb*{x}})^{2}$ は不変である．
$(c\varDelta{t})^{2}-(\varDelta{\vb*{x}})^{2}$
を世界間隔（符号を逆にする流儀もある）という． 世界間隔 $\dd{s}^{2}=c^{2}\dd{t}^{2}-\dd{x}^{2}-\dd{y}^{2}-\dd{z}^{2}$
の係数をメトリック $g^{\mu\nu}$ で書くと便利である．下付きは
$g _ {\mu\nu}g^{\nu\rho}=\delta _ {\mu}^{\rho}$
を満たし，平坦な時空のメトリック $g^{\mu\nu}$ は $\eta^{\mu\nu}$
で書く． $$\eta^{\mu\nu}=\mqty(\dmat{1,-1,-1,-1})$$ 時空点を $x^{\mu}=(ct,x,y,z)=(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})$
のように上付き添え字の座標で指定する．上付き添え字のベクトルを，ローレンツ変換の下での変換性から反変ベクトルと呼び，下付き添え字のベクトル
$x _ {\mu}=g _ {\mu\nu}x^{\nu}=(x^{0},-x^{1},-x^{2},-x^{3})$
を共変ベクトルと呼ぶ．添え字が上下で組を作る積を縮約といい，ローレンツ変換に対して不変なローレンツスカラーとなる．微分演算子については
$\partial _ {\mu}=\pdv{x^{\mu}}=(\partial _ {t},\grad)$ ，スカラー積
$\Box=\partial _ {\mu}\partial^{\mu}=\frac{1}{c^{2}}\pdv[2]{t}-\laplacian$
をダランベルシアンと呼ぶ． $S$ 系に対し $z$ 方向に $-v$ の速度で進む $S'$
系（エレベーター）を考えると，原点で発した光が $t$ 秒後に $S$ 系の
$(l,0,0)$ で観測され，そのとき $S'$ 系は $z$ 方向に $-vt'$
だけ進んでいるため $(l,0,vt')$ で光を観測する． $S'$ 系での光路長
$ct'=\sqrt{l^{2}+(vt')^{2}}$ と $l=ct$ より
$$(ct')^{2}=(ct)^{2}+(vt')^{2}\quad\therefore t'=\gamma
t\qc\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$$ $S'$ 系では光が時間 $t'$ で進む距離として $z$ 方向の長さ $l'=ct'$
を測る．この光が進む様子を $S$ 系で見ると， $S'$
系の時計が遅れており実際は時間 $t=\frac{t'}{\gamma}$
で光が進んだと観測される．したがって $z$ 方向の長さは $\frac{l}{\gamma}$
に縮小して見える． $x$ 方向や $y$ 方向の長さ $l'=ct'$ を測るときは， $S$
系からは $z$ 方向にも光が進んで見えるため $S'$ 系と同じ時間 $t'$
で光が進む長さに見えて縮小しない． 慣性系同士を結ぶ変換をローレンツ変換という．時刻 $t$ で $z=vt$ の点に
$S'$ の原点があるが， $S'$ 系から見ると $S$ 系の $z$ 方向の物差しは
$\frac{1}{\gamma}$ 倍にローレンツ収縮しているから
$z'=\gamma(z-\beta ct)$ ．各系の原点以外での時間を $ct'=act+bz$
とすると，世界間隔の不変性より $(ct)^{2}-z^{2}=\qty(ct')^{2}-z'^{2}$
が任意の $ct$，$z$ に対して不変だから $ct'=\gamma(ct-\beta z)$
．これを次のように書ける．
$$x'^{\mu}={\Lambda^{\mu}} _ {\nu}x^{\nu}\qc{\Lambda^{\mu}} _
{\nu}=\mqty(\gamma & & & -\gamma\beta \\ & 1 \\ & & 1 \\
-\gamma\beta & & & \gamma)$$ エネルギー・運動量ベクトル $p^{\mu}=\qty(\frac{E}{c},\vb*{p})$
を使うと，相対論的力学による関係式 $E^{2}=(c\vb*{p})^{2}+(mc^{2})^{2}$
は $(cp)^{2}=(mc^{2})^{2}$ と書ける．4元電流ベクトル
$J^{\mu}=(\frac{\rho}{c},\vb*{J})$ を使うと，電荷保存則
$\pdv{\rho}{t}+\div{\vb*{J}}=0$ は $\partial _ {\mu}J^{\mu}=0$ と書ける．
Simple Description
指導原理
世界間隔
メトリック
反変ベクトル
時間の遅れ
ローレンツ縮小
ローレンツ変換
4元ベクトル
Basic Problems
ローレンツスカラー
解答例
世界間隔は $(ct)^{2}-\vb*{x}^{2}=x _ {\mu}x^{\mu}$
のようにスカラー積でローレンツ不変． $g _ {\mu\nu}g^{\mu\nu}$ は
$$g _ {\mu\nu}g^{\mu\nu}=\sum _ {\mu=\nu}g _ {\mu\nu}^{2}=\sum _
{\mu=0}^{3}1=4$$
速度の合成
解答例
$\beta _ {1}$ で走る系 $S'$ から観測者の系 $S$ にローレンツ変換する．
$S'$ 系で $\beta _ {2}ct'$ の空間座標点を $-\beta _ {1}$
でローレンツブーストすればよいから
$$\mqty(ct \\ \beta ct)=\mqty(\gamma & \gamma\beta _ {1} \\
\gamma\beta _ {1} & \gamma)\mqty(ct' \\ \beta _ {2}
ct')\quad\therefore\beta=\frac{\beta _ {1}+\beta _ {2}}{1+\beta _
{1}\beta _ {2}}$$
Standard Problems
加速器の種類比較
解答例
$\vb*{p}$ の粒子と $-\vb*{p}$ の粒子がそれぞれエネルギー $E$
で衝突することを考える．これを衝突型加速器の実験室系，すなわち重心系で観測すると
$$s=\mqty(2\frac{E}{c} \\ \vb*{0})^{2}=\frac{4E^{2}}{c^{2}}=\frac{E
_ {\text{cm}}^{2}}{c^{2}}\quad\qty(\because E _ {\text{cm}}=2E)$$
$-\vb*{p}$ の粒子が静止している固定標的型の実験室系では
$$\begin{aligned}
s & =\mqty(\frac{E _ {\text{lab}}+Mc^{2}}{c} \\
\vb*{p}'+\vb*{0})^{2}=\frac{E _ {\text{lab}}^{2}+2E _
{\text{lab}}Mc^{2}+(Mc^{2})^{2}}{c^{2}}-\vb*{p}'^{2} \\ & =2(E _
{\text{lab}}M+M^{2}c^{2})\quad\qty(\because E _
{\text{lab}}^{2}=\vb*{p}'^{2}c^{2}+M^{2}c^{4})
\end{aligned}$$ $s$
はローレンツスカラーだから，各加速器の実験室系から見た粒子のエネルギーの関係式
$E _ {\text{lab}}=\frac{E _ {\text{cm}}^{2}}{2Mc^{2}}-Mc^{2}$ を得る．
$E _ {\text{lab}}$ に $E _ {\text{cm}}$
の2乗が入っており，固定標的型加速器はエネルギーを上げるには非効率的である．一方で，固定標的型加速器では2次元的な衝突が可能であり，衝突後の粒子の散乱角度やエネルギー分布を詳細に調べることができる．
