ラグランジアン $L$ をラグランジアン密度 $\mathscr{L}$ に拡張すると，作用
$S$ に対して $S=\int\dd{t}L=\int\dd{^{4}x}\mathscr{L}$ となる．
$\mathscr{L}$ は局所性をもち，時空点 $x$ では $\phi(x)$ と
$\partial _ {\mu}\phi(x)$ のみに依存する必要がある．よって最小作用の原理は
$$\begin{aligned}
0 & =\delta{S}=\int\dd{^{4}x}\qty{\pdv{\mathscr{L}}{\phi}\delta{\phi}+\pdv{\mathscr{L}}{(\partial
_ {\mu}\phi)}\delta{(\partial _
{\mu}\phi)}}=\int\dd{^{4}x}\qty[\pdv{\mathscr{L}}{\phi}-\partial _
{\mu}\qty{\pdv{\mathscr{L}}{(\partial _ {\mu}\phi)}}]\delta{\phi}
\end{aligned}$$ 最後の変形では
$\delta(\partial _ {\mu}\phi)=\partial _ {\mu}(\delta{\phi})$
と部分積分を利用した．よってオイラー・ラグランジュ方程式
$\pdv{\mathscr{L}}{\phi}-\partial _
{\mu}\qty(\pdv{\mathscr{L}}{(\partial _ {\mu}\phi)})=0$
を得る．正準運動量に当たる場は $\pi(x)=\pdv{\mathscr{L}}{\dot{\phi}}$
であり，ハミルトニアン密度は次を満たす．
$$\mathscr{H}=\pi(x)\dot{\phi}(x)-\mathscr{L}\qc H=\int\dd{^{3}x}\mathscr{H}$$ ラグランジアン密度
$\mathscr{L}=\frac{1}{2}\qty{(\partial _ {\mu}\phi)^{2}-m^{2}\phi^{2}}$
では
$$0=\pdv{\mathscr{L}}{\phi}-\partial _
{\mu}\qty{\pdv{\mathscr{L}}{(\partial _
{\mu}\phi)}}=-m^{2}\phi-\partial _
{\mu}\partial^{\mu}\phi\quad\therefore(\Box+m^{2})\phi=0$$
を得る．これは $c=1$
とした自由場の方程式のクライン・ゴルドン方程式である． 時空点の変換に対する不変性を外部対称性，時空点と無関係な変換に対する不変性を内部対称性という．ここでの不変性は数学的にはラグランジアンであり，これは運動方程式の不変性である． オイラー・ラグランジュ方程式より， $\mathscr{L}$ を不変に保つ変換
$\phi\to\phi+\delta{\phi}$ に対し
$$0=\delta{\mathscr{L}}=\pdv{\mathscr{L}}{\phi}\delta{\phi}+\pdv{\mathscr{L}}{(\partial
_ {\mu}\phi)}\delta(\partial _ {\mu}\phi)=\partial _
{\mu}\qty{\pdv{\mathscr{L}}{(\partial _
{\mu}\phi)}\delta{\phi}}=:\partial _ {\mu}J^{\mu}$$
このように保存する $J^{\mu}$
を保存カレント，保存カレントの時間成分の空間積分 $Q=\int\dd{^{3}x}J^{0}$
をチャージ，ラグランジアンを不変に保つ連続対称性があれば保存カレントが存在することをネーターの定理という． 微小変位 $x^{\mu}\to x^{\mu}+a^{\mu}$ による
$\delta{\phi}=a^{\mu}\partial _ {\mu}\phi$ を考えると，上の表式より
$\delta{\mathscr{L}}=\partial _ {\mu}\qty{\pdv{\mathscr{L}}{(\partial
_ {\mu}\phi)}a^{\nu}\partial _ {\nu}\phi}$
，一方で$\delta{\mathscr{L}}=a^{\mu}\partial _ {\mu}\mathscr{L}$
と書けるから
$$0=\partial _ {\mu}\qty{\pdv{\mathscr{L}}{(\partial _
{\mu}\phi)}\partial _ {\nu}\phi-\delta _
{\nu}^{\mu}\mathscr{L}}a^{\nu}=:\partial _ {\mu}T _ {\nu}^{\mu}a^{\nu}
\quad\therefore\partial _ {\mu}T^{\mu} _ {\nu}=0$$
$T _ {\nu}^{\mu}$
はエネルギー・運動量テンソルといい，時空並進対称性からネーターの定理で導かれる保存カレントである
$\qty(J^{\mu}=T _ {\nu}^{\mu}a^{\nu})$ ．チャージは
$T _ {0}^{0}=\pdv{\mathscr{L}}{\dot{\phi}}\dot{\phi}-\mathscr{L}=\mathscr{H}$，
$Q=\int\dd{^{3}x}T _ {\mu}^{0}a^{\mu}=a^{0}H+a^{i}P _ {i}$
よりエネルギーと運動量である．
Simple Description
ラグランジアン密度とハミルトニアン密度
自由場の方程式
対称性と保存則
ネーターの定理
エネルギー・運動量テンソル
Basic Problems
サイン・ゴルドン方程式
次のラグランジアン密度から場の運動方程式，正準運動量密度，ハミルトニアン密度を求めよ． $$\mathscr{L}=\frac{1}{2}\qty(\partial _ {\mu}\phi)^{2}+\cos{\phi}$$
解答例
場の運動方程式は $$0=\pdv{\mathscr{L}}{\phi}-\partial _ {\mu}\qty{\pdv{\mathscr{L}}{(\partial _ {\mu}\phi)}}=-\sin{\phi}-\partial _ {\mu}\partial^{\mu}\phi\quad\therefore(\Box+\sin){\phi}=0$$ 正準運動量密度 $\pi(x)$ とハミルトニアン密度 $\mathscr{H}$ は $$\pi(x)=\pdv{\mathscr{L}}{\dot{\phi}}=\dot{\phi}(x)\qc\mathscr{H}=\pi\dot{\phi}-\mathscr{L}=\frac{1}{2}\qty{\pi^{2}+\qty(\grad{\phi})^{2}}-\cos{\phi}$$
Standard Problems
保存カレント
解答例
保存カレントは $$J^{\mu}=\pdv{\mathscr{L}}{(\partial _ {\mu}\phi)}\delta{\phi}=\alpha\partial^{\mu}\phi$$
