群 $G$ は積という2項演算が定義された集合 $G=\qty{a,b,\ldots}$ で，元同士
$a\in G$，$b\in G$ の積も元 $ab\in G$
という閉性を満たすものである．積は数字の掛け算のことではなく，群ごとに異なる定義のされ方をする．交換法則
$ab=ba$ を満たせばアーベル群という．群は次の性質を満たす． 結合法則： $a(bc)=(ab)c$ ． 単位元の存在： $ae=ea=a$ ． 逆元の存在： $aa^{-1}=a^{-1}a=e$ ． 群の位数 $\abs{G}$ は群に含まれる元の個数，元 $a$ の位数 $\abs{a}$ は
$a^{n}=e$ を満たす最小の自然数 $n$ である（ $n$ が存在しないとき
$\abs{a}=\infty$ とする）． 整数は群の積を足し算とするとアーベル群をなしている．単位元は0，逆元は逆符号の元で，結合法則と交換法則が成り立つ．積を掛け算とすると群をなしていない．
$\pm1$
以外の逆元が存在しない，正の実数や0を除く実数は群の積を掛け算としてアーベル群をなしており，単位元は1，逆元は逆数で，結合法則と交換法則が成り立っている． 群 $G$ の全ての元を群 $H$ の一部の元に対応付ける写像 $f$ が
$f(a)f(b)=f(ab)$ を満たすとき $f$ を準同型写像という． $f$ が $H$
の全ての元と1対1で対応付ける全単射写像なら $f$ を同型写像という．群 $G$
の元 $a$ を線形演算子 $F(a)$ に対応付けた準同型写像 $F(a)F(b)=F(ab)$ を
$G$ の表現という． 群の位数が無限大の群の元を連続パラメータのセットで指定するとき
$g=g\qty(\qty{\theta _ {i}})$
，パラメータが有限個で各偏微分が定義される群をリー群という．全てのパラメータが0の元を
$e$ とし， $X _ {j}=\eval{\pdv{g}{\theta _ {j}}} _ {\theta _ {i}=0}$
を生成子という． 生成子を $X=-i\eval{\pdv{g}{\theta}} _ {\theta=0}$
のようにエルミートにとると，パラメータ $\abs{\dd{\theta}}\ll1$
が十分小さい単位元の周辺では $g(\dd{\theta})\simeq1+i\dd{\theta}X$
．大きいパラメータ $\theta$ は $N$ 分割して $N$ 乗すれば次のようになる．
$$\begin{aligned}
\lim _ {N\to\infty}\qty(1+\frac{i\theta X}{N})^{N} & =\lim _
{N\to\infty}\sum _ {k=0}^{N}\frac{N!}{k!(N-k)!}\qty(\frac{i\theta
X}{N})^{k} \\ & =\lim _ {N\to\infty}\sum _ {k=0}^{N}\frac{(i\theta
X)^{k}}{k!}\qty(\frac{N}{N}\cdot\frac{N-1}{N}\cdots\frac{N-k+1}{N})
\\ & =\sum _ {k=0}^{\infty}\frac{\qty(i\theta
X)^{k}}{k!}\qty(1\cdot1\cdots1)=e^{i\theta X}
\end{aligned}$$ 生成子がエルミート $X^{\dagger}=X$ だから
$U=e^{i\theta X}$ のエルミート共役は $U^{\dagger}=e^{-i\theta X}$
であり， $U$ はユニタリ $UU^{\dagger}=1$ である． 生成子はベクトル空間を張っており，生成子同士の線形結合が可能で基底の取り方は任意である．例えば，単位行列を含めたパウリ行列はエルミートな2次正方複素行列の直交基底であり，任意の行列がその線形結合で表せる． 群の構造は生成子同士の交換関係 $\comm{X _ {i}}{X _ {j}}=if _ {ijk}X _ {k}$
で特徴づけられる．この交換関係をリー代数， $f _ {ijk}$
を構造定数という．パウリ行列 $\sigma _ {i}$ $\qty(i=1,2,3)$ では
$\comm{\sigma^{i}}{\sigma^{j}}=2i\varepsilon _ {ijk}\sigma^{k}$ であった．
Simple Description
定義
例: 整数
群の表現
リー群
可微分多様体
ユニタリ群
ベクトル空間
リー代数
Basic Problems
群
解答例
$n$ 次元ベクトルのベクトル積は単位元が存在せず，結合法則も成り立たないため群をなしていない． $n$ 次正方行列は交換法則は成り立たないが，結合法則が成り立ち，単位元として単位行列が存在する．しかし，行列式が0だと逆元としての逆行列が存在しないため，群をなさず， $n$ 次正方行列のうち行列式が0でない行列に限った集合においては群をなす．
Standard Problems
ユニタリ性
解答例
$$\begin{aligned} \eval{\dv[n]{\theta}e^{-i\theta X}e^{i\theta X}} _ {\theta=0} & =\delta _ {0,n}\quad\therefore U^{\dagger}U=e^{-i\theta X}e^{i\theta X}=\sum _ {n=0}^{\infty}\frac{\theta^{n}}{n!}\delta _ {0,n}=1 \end{aligned}$$
キャンベル・ベーカー・ハウスドロフの公式
解答例
変換 $\text{adj}(A)$ を $\text{adj}(A)B=\comm{A}{B}$ で定義すると $$\begin{aligned} \eval{\dv[n]{t}e^{tA}Be^{-tA}} _ {t=0} & =\eval{\dv[n-1]{t}e^{tA}\comm{A}{B}e^{-tA}} _ {t=0}=\eval{\dv[n]{t}e^{tA}\qty(\text{adj}(A)^{n}B)e^{-tA}} _ {t=0} \\ \therefore e^{A}Be^{-A} & =\sum _ {n=0}^{\infty}\frac{1^{n}}{n!}\eval{\dv[n]{t}e^{tA}Be^{-tA}} _ {t=0}=\sum _ {n=0}^{\infty}\frac{\text{adj}(A)^{n}}{n!}B=e^{\text{adj}(A)}B \end{aligned}$$
