7.1.3.2 直交群
回転群とは原点周りの全ての回転の集合であり，回転は長さを保存するためその行列表現
$R$ はユニタリ $R^{\dagger}R=I$ である．回転群の積とは，回転群 $G$ の元
$R _ {1}$，$R _ {2}$ に対し $R _ {2}R _ {1}$ と表され，まず $R _ {1}$
の回転を行ってから $R _ {2}$ の回転を行う操作で，これも回転に含まれる
$R _ {2}R _ {1}\in G$ から群の閉性を満たす． 一連の回転操作 $R _ {3}R _ {2}R _ {1}$ は $R _ {1}$
から順に回転を行うもので，隣り合う途中操作を繋げても結果は変わらず，結合法則
$(R _ {3}R _ {2})R _ {1}=R _ {3}(R _ {2}R _ {1})$
が成り立つ．一方，異なる軸周りに物体を回転させてみるとわかるが，一般に回転は交換しない
$R _ {1}R _ {2}\neq R _ {2}R _ {1}$
．単位元は無回転，逆元は逆回転の操作に対応し，回転の集合が群をなすことが分かる． 3次元空間での回転は3次元特殊直交行列 $R\in SO(3)$
$(RR^{T}=R^{T}R=I,\ \abs{R}=1)$ で表せる．各点 $\vb*{r}$ を
$\vb*{r}'=R\vb*{r}$ のように回転させる．例えば $z$ 軸周りの角度 $\phi$
の回転 $R _ {z}(\phi)$ は，円筒座標で表した点 $(R,\theta,z)$ を
$(R,\theta+\phi,z)$ に移すから
$$\left(\begin{array}{c}R\cos(\theta+\phi) \\ R\sin(\theta+\phi) \\ z\end{array}\right)=R _
{z}(\phi)\mqty(R\cos{\theta} \\ R\sin{\theta} \\ z)\quad\therefore
R _ {z}(\phi)=\mqty(\cos{\phi} & -\sin{\phi} \\ \sin{\phi} &
\cos{\phi} \\ & & 1)$$
（加法定理を用いた．） $x$ 軸， $y$ 軸周りの回転なら， $z$ 軸を $x$ 軸，
$y$ 軸だと思えばよく， $(x,y,z)\to(z,x,y)$，$(x,y,z)\to(y,z,x)$ に軸（
$R _ {z}(\phi)$ の行と列）を置き換えればよい．
$$R _ {x}(\phi)=\mqty(1 \\ & \cos{\phi} & -\sin{\phi} \\ &
\sin{\phi} & \cos{\phi})\qc R _ {y}(\phi)=\mqty(\cos{\phi} & &
\sin{\phi} \\ & 1 \\ -\sin{\phi} & & \cos{\phi})$$ 逆回転は $\phi\to-\phi$
の置き換えで得られて，これは転置をとる操作と同等である．したがって直交性
$R^{T}R=I$ を満たし，積 $R=R _ {1}R _ {2}$ も直交行列
$R^{T}R=R _ {2}^{T}R _ {1}^{T}R _ {1}R _ {2}=I$
である．回転群の構造をそのまま持つ $SO(3)$
は回転群の表現である．直交行列 $R^{T}R=I$ の行列式を取れば，
$1=\abs{R^{T}}\abs{R}=\abs{R}^{2}$ より $\abs{R}=\pm1$
であるが，反転を含む3次元直交行列 $R\in O(3)$ は $\abs{R}=-1$ である． ユニタリ行列 $U^{\dagger}U=I,\ U\in U(N)$
のうち実行列が直交（orthogonal）行列 $O^{T}O=I,\ O\in O(N)$ ．直交行列は
$\abs{O}=\pm1$ のうち $\abs{R}=+1,\ R\in SO(N)$
のものは特殊直交（special orthogonal）行列という特殊ユニタリ（special
unitary）行列も， $\abs{U}=\pm1$ のユニタリ行列のうち
$\abs{U}=+1,\ U\in SU(N)$ のものをいう．
$U(N)$，$SU(N)$，$O(N)$，$SO(N)$ はそれぞれ群をなす． 3次特殊直交群の $R _ {x}(\phi)$，$R _ {y}(\phi)$，$R _ {z}(\phi)$ の生成子は
$$J _ {x}=-i\eval{\pdv{R _ {x}}{\phi}} _ {\phi=0}=\mqty( \\ & & i
\\ & -i )\qc J _ {y}=\mqty( & & -i \\ \\ i)\qc J _ {z}=\mqty( &
i \\ -i \\ & & )$$
生成子から逆に回転行列は $R _ {x}(\phi)=e^{i\phi J _ {x}}$ と表され，
$\vb*{\phi}$ 方向の回転軸で $\abs{\vb*{\phi}}$ だけ回転させるなら
$R _ {z}(\phi _ {z})R _ {y}(\phi _ {y})R _ {x}(\phi _ {x})=e^{i\phi _
{z}J _ {z}}e^{i\phi _ {y}J _ {y}}e^{i\phi _ {x}J _
{x}}=e^{i\vb*{\phi}\cdot\vb*{J}}$
のように書ける．
Simple Description
回転群
回転群の行列表現
直交群の構造
3次特殊直交群の特徴
他の群との関係
生成子
Basic Problems
回転の交換関係
解答例
$$\begin{aligned} \comm{J _ {x}}{J _ {y}} & =\mqty( \\ & & i \\ & -i )\mqty( & & -i \\ \\ i)-\mqty( & & -i \\ \\ i)\mqty( \\ & & i \\ & -i )=\mqty( & 1 \\ -1 \\ & & ) \\ \comm{J _ {y}}{J _ {z}} & =\mqty( & & -i \\ \\ i)\mqty( & i \\ -i \\ & & )-\mqty( & i \\ -i \\ & & )\mqty( & & -i \\ \\ i)=\mqty( \\ & & 1 \\ & -1) \\ \comm{J _ {z}}{J _ {x}} & =\mqty( & i \\ -i \\ & & )\mqty( \\ & & i \\ & -i )-\mqty( \\ & & i \\ & -i )\mqty( & i \\ -i \\ & & )=\mqty( & & -1 \\ \\ 1) \end{aligned}$$ よって $\comm{J _ {i}}{J _ {j}}=i\varepsilon _ {ijk}J _ {k}$ ．
Standard Problems
生成子と回転行列
解答例
$$\begin{aligned} R _ {x}(\phi) & =\sum _ {k=0}^{\infty}\frac{\phi^{k}}{k!}\eval{\pdv{R _ {x}}{\phi'}} _ {\phi'=0}=\sum _ {k=0}^{\infty}\frac{(i\phi)^{k}}{k!}J _ {x}^{k}=e^{i\phi J _ {x}} \\ & =\mqty(\dmat{1,1,1})+\mqty( \\ & & -\phi \\ & \phi)+\frac{1}{2}\mqty(\dmat{,-\phi^{2},-\phi^{2}})+\cdots \\ & =\mqty(1 \\ & 1-\frac{\phi^{2}}{2}+\cdots & -\phi+\cdots \\ & \phi+\cdots & 1-\frac{\phi^{2}}{2}+\cdots)=\mqty(1 \\ & \cos{\phi} & -\sin{\phi} \\ & \sin{\phi} & \cos{\phi}) \end{aligned}$$
