古典的な力学的エネルギーの式 $E=\frac{\vb*{p}^{2}}{2m}+V(\vb*{x})$
を演算子と波動関数に置き換えて，シュレディンガー方程式が得られる．
$$\qty(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\laplacian+V(\vb*{x})
)\psi(\vb*{x})=E\psi(\vb*{x})$$ 相対論に対応させるため，相対論的エネルギーの式
$E=\sqrt{(\vb*{p}c)^{2}+(mc^{2})^{2}}$
の2乗を演算子と波動関数に置き換えると，クライン・ゴルドン方程式が得られる．
$$\qty(\frac{1}{c^{2}}\pdv[2]{t}-\pdv[2]{x})\psi=\frac{m^{2}c^{2}}{\hbar^{2}}\psi$$ クライン・ゴルドン方程式は負の確率が出るという望ましくない性質があったため，根号を適当な行列により
$E=\vb*{\alpha}\cdot\vb*{p}c+\beta mc^{2}$
と展開できるとすると，ディラック方程式が得られる．
$$i\hbar\pdv{t}\psi=-i\hbar c\vb*{\alpha}\cdot\grad{\psi}+\beta
mc^{2}\psi\quad\therefore\qty(i\hbar c\gamma^{\mu}\partial _
{\mu}-mc^{2}\beta^{2})\psi=0$$
ただし $\partial _ {\mu}=\mqty(\pdv{(ct)} & \grad{})$ ．ここでガンマ行列
$\gamma^{\mu}=\mqty(\beta & \beta\alpha^{i})$ を導入した． $\beta^{2}=I$
にとり，自然単位系により $c=\hbar=1$ とすると
$i\gamma^{\mu}\partial _ {\mu}\psi=m\psi$ ． ディラック方程式の両辺に $i\gamma _ {\nu}\partial^{\nu}$
を作用させ，右辺を再びディラック方程式で変形すると，
$-\gamma _ {\nu}\gamma^{\mu}\partial^{\nu}\partial _
{\mu}\psi=m^{2}(\gamma^{0})^{4}\psi$
．ここで $\gamma _ {\nu}\gamma^{\mu}=\delta _ {\nu}^{\mu}$
であればクライン・ゴルドン方程式に一致する．逆行列の関係
$g _ {\nu\rho}g^{\rho\mu}=\delta _ {\nu}^{\mu}$ を用いると，条件式は
$g _ {\nu\rho}\gamma^{\rho}\gamma^{\mu}=g _ {\nu\rho}g^{\rho\mu}$ となり，
$\gamma^{\rho}\gamma^{\mu}=g^{\rho\mu}$ を得る．メトリックの対称性
$g^{\rho\mu}=g^{\mu\rho}$ より
$\acomm{\gamma^{\mu}}{\gamma^{\nu}}=2g^{\mu\nu}$ である． $\acomm{\gamma^{\mu}}{\gamma^{\nu}}=2g^{\mu\nu}$
はクリフォード代数といい，ディラック・パウリ表現とカイラル表現（ワイル表現）がある．パウリ行列
$\sigma^{\mu}=\mqty(I & \vb*{\sigma})$ に対し，
$\overline{\sigma}^{\mu}=\mqty(I & -\vb*{\sigma})$
として，カイラル表現は
$\gamma^{\mu}=\smqty( & \sigma^{\mu} \\ \overline{\sigma}^{\mu})$
，ディラック・パウリ表現は $\gamma^{0}=\smqty(I \\ & -I)$
としたものである． $\gamma^{5}:=i\gamma^{0}\gamma^{1}\gamma^{2}\gamma^{3}$
とファインマンのスラッシュ記法 $a\!\!\!/=\gamma _ {\mu}a^{\mu}$
を使うと便利である．また，ディラックスピノル $\psi$ の随伴は
$\overline{\psi}=\psi^{\dagger}\gamma^{0}$ であり，
$\overline{\psi}\psi$ や $\overline{\psi}\gamma^{\mu}\partial _ {\mu}\psi$
はスカラー， $\overline{\psi}\gamma^{5}\psi$
はパリティ変換で符号が逆転する擬スカラー，
$\overline{\psi}\gamma^{\mu}\psi$ は反変ベクトルとなる．スカラー $m$
を用いればローレンツ不変なラグランジアン
$\mathscr{L}=i\overline{\psi}\gamma^{\mu}\partial _
{\mu}\psi-m\overline{\psi}\psi$
を構成できる．
Simple Description
方程式の変遷
シュレディンガー方程式
クライン・ゴルドン方程式
ディラック方程式へ
ガンマ行列
クライン・ゴルドン方程式との整合性
クリフォード代数
よく使う量
Basic Problems
ファインマンのスラッシュ記法
解答例
ディラック表現とカイラル表現はそれぞれ $$\mqty(\frac{E}{c} & -\vb*{\sigma}\cdot\vb*{p} \\ \vb*{\sigma}\cdot\vb*{p} & E)\qc\mqty( & \sigma^{\mu}p _ {\mu} \\ \overline{\sigma}^{\mu}p _ {\mu})=\mqty( & E/c-\vb*{\sigma}\cdot\vb*{p} \\ E/c+\vb*{\sigma}\cdot\vb*{p})$$
Standard Problems
ガンマ行列の性質
解答例
$$\Tr[A+B]=\Tr[A]+\Tr[B]\qc\Tr[\alpha A]=\alpha\Tr[A]\qc\Tr[AB]=\Tr[BA]$$ （ $\Tr[ABC]=\Tr[ACB]$ ではないことに注意）を使うと次により示せる．
$\acomm{\gamma^{\mu}}{\gamma _ {\mu}}=\acomm{\gamma^{\mu}}{g _ {\mu\nu}\gamma^{\mu}}=2\delta _ {\mu}^{\mu}=8$
$\gamma _ {\mu}\gamma _ {\alpha}a^{\alpha}\gamma^{\mu}=a^{\alpha}(2g _ {\mu\alpha}-\gamma _ {\alpha}\gamma _ {\mu})\gamma^{\mu}=a^{\alpha}(2\gamma _ {\alpha}-4\gamma _ {\alpha})=-2\gamma _ {\alpha}a^{\alpha}$
$\gamma _ {\mu}\gamma _ {\alpha}\gamma _ {\beta}\gamma^{\mu}=2g _ {\mu\alpha}\gamma _ {\beta}\gamma^{\mu}-\gamma _ {\alpha}\gamma _ {\mu}\gamma _ {\beta}\gamma^{\mu}=2\gamma _ {\beta}\gamma _ {\alpha}-\gamma _ {\alpha}(-2\gamma _ {\beta})=4g _ {\alpha\beta}$
$\gamma _ {\mu}\gamma _ {\alpha}\gamma _ {\beta}\gamma _ {\gamma}\gamma^{\mu}=2\gamma _ {\beta}\gamma _ {\gamma}\gamma _ {\alpha}-\gamma _ {\alpha}\gamma _ {\mu}\gamma _ {\beta}\gamma _ {\gamma}\gamma^{\mu}=2(2g _ {\beta\gamma}-\gamma _ {\gamma}\gamma _ {\beta})\gamma _ {\alpha}-4g _ {\beta\gamma}\gamma _ {\alpha}=-\gamma _ {\gamma}\gamma _ {\beta}\gamma _ {\alpha}$
$\acomm{\gamma^{\mu}}{\gamma^{\nu}}=2g^{\mu\nu}$ より $\mu\neq\nu$ で $\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}=-\gamma^{\nu}\gamma^{\mu}$，$\gamma^{\mu}\gamma^{\mu}=g^{\mu\mu}$ であるから$$\begin{aligned} \acomm{\gamma^{0}}{\gamma^{5}} & =i\qty(\gamma^{0}\gamma^{0}\gamma^{1}\gamma^{2}\gamma^{3}+\gamma^{0}\gamma^{1}\gamma^{2}\gamma^{3}\gamma^{0}) \\ & =i\qty(\gamma^{1}\gamma^{2}\gamma^{3}+\gamma^{0}\gamma^{1}\gamma^{2}(-\gamma^{0}\gamma^{3}) ) \\ &=i\qty(\gamma^{1}\gamma^{2}\gamma^{3}+\gamma^{0}\gamma^{1}(\gamma^{0}\gamma^{2})\gamma^{3}) \\ & =i\qty[\gamma^{1}\gamma^{2}\gamma^{3}+\gamma^{0}(-\gamma^{0}\gamma^{1})\gamma^{2}\gamma^{3}] \\ & =i\qty(\gamma^{1}\gamma^{2}\gamma^{3}-\gamma^{1}\gamma^{2}\gamma^{3})=0 \end{aligned}$$ 同様にして $$\begin{aligned} \acomm{\gamma^{1}}{\gamma^{5}} & =i\qty(\gamma^{1}\gamma^{0}\gamma^{1}\gamma^{2}\gamma^{3}+\gamma^{0}\gamma^{1}\gamma^{2}\gamma^{3}\gamma^{1})=i\qty(\gamma^{0}\gamma^{2}\gamma^{3}-\gamma^{0}\gamma^{2}\gamma^{3})=0 \\ \acomm{\gamma^{2}}{\gamma^{5}} & =i\qty(\gamma^{2}\gamma^{0}\gamma^{1}\gamma^{2}\gamma^{3}+\gamma^{0}\gamma^{1}\gamma^{2}\gamma^{3}\gamma^{2})=i\qty(-\gamma^{0}\gamma^{1}\gamma^{3}+\gamma^{0}\gamma^{1}\gamma^{3})=0 \\ \acomm{\gamma^{3}}{\gamma^{5}} & =i\qty(\gamma^{3}\gamma^{0}\gamma^{1}\gamma^{2}\gamma^{3}+\gamma^{0}\gamma^{1}\gamma^{2}\gamma^{3}\gamma^{3})=i\qty(\gamma^{0}\gamma^{1}\gamma^{2}-\gamma^{0}\gamma^{1}\gamma^{2})=0 \end{aligned}$$
$\acomm{\gamma^{\mu}}{\gamma^{5}}=0$ と $(\gamma^{5})^{2}=\gamma _ {5}(i\gamma _ {3}\gamma _ {2}\gamma _ {1}\gamma _ {0})=1$ より $$\begin{aligned} \Tr[\gamma^{n _ {1}}\cdots\gamma^{n _ {2m+1}}] & =\Tr[\gamma^{n _ {1}}\cdots\gamma^{n _ {2m+1}}\gamma^{5}\gamma^{5}]=\Tr[\gamma^{5}\gamma^{n _ {1}}\cdots\gamma^{n _ {2m+1}}\gamma^{5}] \\ & =(-1)^{2m+1}\Tr[\gamma^{n _ {1}}\cdots\gamma^{n _ {2m+1}}\gamma^{5}\gamma^{5}] \\ & =-\Tr[\gamma^{n _ {1}}\cdots\gamma^{n _ {2m+1}}]\quad(\therefore\Tr[\gamma^{n _ {1}}\cdots\gamma^{n _ {2m+1}}]=0) \end{aligned}$$
$\gamma$ 行列は $4\times4$ 行列なので $\Tr[\smqty(\dmat{1,1,1,1})]=4$
$\Tr[\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}]=\frac{\Tr[\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}]+\Tr[\gamma^{\nu}\gamma^{\mu}]}{2}=\frac{\Tr[\acomm{\gamma^{\mu}}{\gamma^{\nu}}]}{2}=4g^{\mu\nu}$
$$\begin{aligned} \Tr[\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}\gamma^{\rho}\gamma^{\sigma}] & =\frac{1}{2}\Tr[\acomm{\gamma^{\mu}}{\gamma^{\nu}\gamma^{\rho}\gamma^{\sigma}}] \\ & =\frac{1}{2}\Tr[\acomm{\gamma^{\mu}}{\gamma^{\nu}}\gamma^{\rho}\gamma^{\sigma}-\gamma^{\nu}\acomm{\gamma^{\mu}}{\gamma^{\rho}}\gamma^{\sigma}+\gamma^{\nu}\gamma^{\rho}\acomm{\gamma^{\mu}}{\gamma^{\sigma}}] \\ & =g^{\mu\nu}\Tr[\gamma^{\rho}\gamma^{\sigma}]-g^{\mu\rho}\Tr[\gamma^{\nu}\gamma^{\sigma}]+g^{\mu\sigma}\Tr[\gamma^{\nu}\gamma^{\rho}] \\ & =4(g^{\mu\nu}g^{\rho\sigma}-g^{\mu\rho}g^{\nu\sigma}+g^{\mu\sigma}g^{\nu\rho}) \end{aligned}$$
$$\Tr[\gamma^{5}(\gamma^{0})^{2}]=\Tr[\gamma^{0}\gamma^{5}\gamma^{0}]=-\Tr[\gamma^{5}(\gamma^{0})^{2}]$$
$\Tr[\gamma^{5}\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}]$ は $\mu=\nu$ なら0になることは自明． $\mu\neq\nu$ のときは $\rho\notin\qty{\mu,\nu}$ として $$\Tr[\gamma^{5}\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}(\gamma^{\rho})^{-1}\gamma^{\rho}]=\Tr[\gamma^{\rho}\gamma^{5}\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}(\gamma^{\rho})^{-1}]=-\Tr[\gamma^{5}\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}]$$ $$\therefore\Tr[\gamma^{5}\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}]=0$$
$\Tr[\gamma^{5}\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}\gamma^{\rho}\gamma^{\sigma}]$ は添え字に重複があれば $\Tr[\gamma^{5}\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}]=0$ ，重複がなければ完全反対称だから $$\Tr[\gamma^{5}\gamma _ {\mu}\gamma _ {\nu}\gamma _ {\rho}\gamma _ {\sigma}]=\Tr[\gamma^{5}\varepsilon _ {\mu\nu\rho\sigma}\gamma _ {0}\gamma _ {1}\gamma _ {2}\gamma _ {3}]=-i\varepsilon _ {\mu\nu\rho\sigma}\Tr[(\gamma^{5})^{2}]=-4i\varepsilon _ {\mu\nu\rho\sigma}$$
