7.1.6.1 実スカラー場の構築

Simple Description

クライン・ゴルドン方程式

負のエネルギー解

相対論的なエネルギー関係式 $E^{2}=(\vb*{p}c)^{2}+(mc^{2})^{2}$ を $E\to i\hbar\pdv{t}$ ， $\vb*{p}\to-i\hbar\grad$ のように置き換えて得られるクライン・ゴルドン方程式 $(\partial _ {\mu}\partial^{\mu}+m^{2})\psi=0$ は自由粒子を記述する．自由粒子解 $\psi=e^{ip\cdot x}$ を代入して得られる条件は， $E=\pm\sqrt{\vb*{p}^{2}+m^{2}}$ である．ここで正のエネルギー解は粒子を記述し，負のエネルギー解は同じ質量で逆の電荷をもつ反粒子を記述すると解釈する．

負の確率密度

確率カレントを $\vb*{J}=\Re[\psi^{\ast}\vb*{p}\psi]=-i\psi^{\ast}\grad{\psi}+i\psi\grad{\psi^{\ast}}$ と定義する．確率保存則 $\pdv{\rho}{t}+\div{\vb*{J}}=0$ とクライン・ゴルドン方程式 $\pdv[2]{\psi}{t}-\laplacian\psi+m^{2}\psi=0$ より $$\pdv{\rho}{t}=-\div{\vb*{J}}=i\psi^{\ast}\laplacian\psi-i\psi\laplacian\psi^{\ast}=i\qty(\psi^{\ast}\pdv[2]{\psi}{t}-\psi\pdv[2]{\psi^{\ast}}{t})$$ これを解いて $\rho=i\qty(\psi^{\ast}\pdv{\psi}{t}-\psi\pdv{\psi^{\ast}}{t})$ ．これに自由粒子解 $\psi=e^{ip\cdot x}$ を代入すると $\rho=2E$ より負のエネルギー解に対し負の確率密度を与える．

場の導入

ディラック方程式では，次元を落として負の確率密度を解消したが，場の量子論では $\psi$ の解釈を波動関数から演算子としての場に変更する．

第二量子化

$\psi$ を波動関数から演算子である場に昇格し，第一量子化 $\comm{x}{p}=i$ に代わって第二量子化を行う．演算子であった $\vb*{x}$ はパラメータに戻し，場 $\psi(\vb*{x},t)$ を演算子として粒子の状態ではなく場の状態に作用することにする． $\psi(\vb*{x},t)$ と共役運動量場 $\pi(\vb*{x},t)$ に同時刻交換関係 $\comm{\psi(\vb*{x},t)}{\pi(\vb*{x}',t)}=i\delta^{(3)}(\vb*{x}-\vb*{x}')$ を課す．

調和振動子

非相対論的量子力学の調和振動子では，ハミルトニアン $H$ を因数分解するようにして生成・消滅演算子 $a^{\dagger}$，$a$ を導入し，基底状態 $a\ket{0}=0$ を定義した． $$H=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{m\omega^{2}}{2}x^{2}=\omega\qty(a^{\dagger}a+\frac{1}{2})\qc a=\sqrt{\frac{m\omega}{2}}\qty(x+\frac{i}{m\omega}p)$$ 交換関係 $\comm{a}{a^{\dagger}}=1$ より個数演算子 $N=a^{\dagger}a$ との交換関係 $\comm{N}{a}=-a$，$\comm{N}{a^{\dagger}}=a^{\dagger}$ が成立する．生成・消滅演算子は $N$ の固有値 $n$ は非負整数で固有状態 $\ket{n}$ の固有値を上げたり下げたりする． $$a\ket{n}=\sqrt{n}\ket{n-1}\qc a^{\dagger}\ket{n}=\sqrt{n+1}\ket{n+1}\quad\therefore\ket{n}=\frac{(a^{\dagger})^{n}}{\sqrt{n!}}\ket{0}$$ 場の量子論ではこのような考え方で， $\ket{0}$ を真空状態， $\ket{n}$ を $n$ 粒子状態と呼び，粒子・反粒子それぞれの生成・消滅演算子を考え，それらを組み合わせて場を構成する．

Basic Problems

共役運動量場

問題

実スカラー場 $\phi(x)$ を， $p^{2}=m^{2}$ と実数条件の下でのフーリエ展開として以下で与える． $$\phi(x)=\int\frac{\dd{^{3}\vb*{p}}}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}\sqrt{2E _ {\vb*{p}}}}\qty{a(\vb*{p})e^{-ip\cdot x}+a^{\dagger}(\vb*{p})e^{ip\cdot x}}$$ ラグランジアン $\mathscr{L}=\frac{1}{2}\partial _ {\mu}\phi\partial^{\mu}\phi-\frac{1}{2}m^{2}\phi^{2}$ から共役運動量場 $\pi(x)$ を求めよ．

解答例

$$\begin{aligned} \pi(x) & =\pdv{\mathscr{L}}{(\partial _ {0}\phi)}=\partial _ {0}\phi \\ & =\int\frac{\dd{^{3}\vb*{p}}}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}\sqrt{2E _ {\vb*{p}}}}\qty{a(\vb*{p})(-iE _ {\vb*{p}})e^{-ip\cdot x}+a^{\dagger}(\vb*{p})(iE _ {\vb*{p}})e^{ip\cdot x}} \\ & =-i\int\frac{\dd{^{3}\vb*{p}}}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\sqrt{\frac{E _ {\vb*{p}}}{2}}\qty{a(\vb*{p})e^{-ip\cdot x}-a^{\dagger}(\vb*{p})e^{ip\cdot x}} \end{aligned}$$

Standard Problems

同時刻交換関係

問題

前問の場において， $\comm{a(\vb*{p})}{a^{\dagger}(\vb*{p}')}=\delta^{(3)}(\vb*{p}-\vb*{p}')$ とすれば同時刻交換関係 $\comm{\psi(\vb*{x},t)}{\pi(\vb*{x}',t)}=i\delta^{(3)}(\vb*{x}-\vb*{x}')$ を満たすことを確かめよ．

解答例

$$\begin{aligned} & \comm{\psi(\vb*{x},t)}{\pi(\vb*{x}',t)} \\ & =-i\int\frac{\dd{^{3}\vb*{p}}\dd{^{3}\vb*{p}'}}{(2\pi)^{3}2}\sqrt{\frac{E _ {\vb*{p}'}}{E _ {\vb*{p}}}}\comm{a(\vb*{p})e^{-ip\cdot x}+a^{\dagger}(\vb*{p})e^{ip\cdot x}}{a(\vb*{p}')e^{-ip'\cdot y}-a^{\dagger}(\vb*{p}')e^{ip'\cdot y}} \\ & =\int\frac{\dd{^{3}\vb*{p}}\dd{^{3}\vb*{p}'}}{2i(2\pi)^{3}}\sqrt{\frac{E _ {\vb*{p}'}}{E _ {\vb*{p}}}}\qty(0-e^{-i(p\cdot x-p'\cdot y)}\delta^{(3)}(\vb*{p}-\vb*{p}')-e^{i(p\cdot x-p'\cdot y)}\delta^{(3)}(\vb*{p}-\vb*{p}')+0) \\ & =\int\frac{\dd{^{3}\vb*{p}}}{2i(2\pi)^{3}}\qty(-e^{-ip\cdot(x-y)}-e^{-ip\cdot(y-x)})=-\frac{i}{2}\qty(-\delta^{(3)}(\vb*{x}-\vb*{y})-\delta^{(3)}(\vb*{y}-\vb*{x}) ) \\ & =i\delta^{(3)}(\vb*{x}-\vb*{y}) \end{aligned}$$