真空ケットを $a(\vb*{p})\ket{0}=0$ で定義する．生成・消滅演算子は運動量
$\vb*{p}$ でラベルし，次のように状態を表せる．
$$\ket{\vb*{p} _ {1},\vb*{p} _ {2},\ldots,\vb*{p} _
{n}}=a^{\dagger}(\vb*{p} _ {1})a^{\dagger}(\vb*{p} _ {2})\cdots
a^{\dagger}(\vb*{p} _ {n})\ket{0}$$
各 $a^{\dagger}(\vb*{p})$ は運動量 $\vb*{p}$
の単一粒子を生成し，これにより $E _ {\vb*{p}}=\sqrt{\vb*{p}^{2}+m^{2}}$
のエネルギーが場に加わる． $\vb*{p}$ の粒子 $m$ 個の状態は
$\frac{(a^{\dagger}(\vb*{p}) )^{m}}{\sqrt{m!}}\ket{0}$
であるから，より一般的には次のように状態を表す．
$$\ket{n(\vb*{p} _ {1}),n(\vb*{p} _ {2}),\ldots,n(\vb*{p} _
{n})}=\prod _ {k=1}^{n}\frac{(a^{\dagger}(\vb*{p} _ {k}) )^{m _
{k}}}{\sqrt{m _ {k}!}}\ket{0}$$
ここで $\vb*{p} _ {k}$ の運動量状態の粒子数 $m _ {k}$
を占有数，上の表し方を占有数表示という． 調和振動子の個数演算子から類推して，個数演算子は次式のようになる．
$$N=\int\dd{^{3}\vb*{p}}a^{\dagger}(\vb*{p})a(\vb*{p})$$ $\ip{0}=1$ とすると次が得られる．
$$\ip{\vb*{p}}{\vb*{p}'}=\ev{a(\vb*{p})a^{\dagger}(\vb*{p}')}{0}=\ev{\qty{a^{\dagger}(\vb*{p}')a(\vb*{p})+\delta^{(3)}(\vb*{p}-\vb*{p}')}}{0}=\delta^{(3)}(\vb*{p}-\vb*{p}')$$ $\ket{\vb*{p} _ {1},\vb*{p} _ {2}}=\ket{\vb*{p} _ {2},\vb*{p} _ {1}}$
より，粒子の入れ替えで符号が変わらないボーズ統計にしたがうボソンであることがわかる． エネルギーと運動量の演算子は次のように表せると考えられる．
$$H=\int\dd{^{3}\vb*{p}}E _
{\vb*{p}}a^{\dagger}(\vb*{p})a(\vb*{p}) \qc
\vb*{P}=\int\dd{^{3}\vb*{p}}\vb*{p}a^{\dagger}(\vb*{p})a(\vb*{p})$$
調和振動子のように $N\to N+\frac{1}{2}$ とすると真空期待値が
$\int\dd{^{3}\vb*{p}}\frac{E _ {\vb*{p}}}{2}=\infty$
となり発散するため，エネルギーの基準を変更してこれを引いておいた．このような手続きが数学的に扱うことを困難にしている． 生成演算子を消滅演算子より左に配置した積．コロン「:」で囲んで表記する．
$:a(\vb*{p})a^{\dagger}(\vb*{p}):=a^{\dagger}(\vb*{p})a(\vb*{p})$
のようになる． 右から順に引数の時刻が早いものから並べた積．例えば $t _ {1}<t _ {2}$ のとき
$T[\phi(t _ {1})\phi'(t _ {2})]=\phi'(t _ {2})\phi(t _ {1})$ ． 荷電した粒子・反粒子の場は複素スカラー場である． 粒子の生成・消滅演算子 $a^{\dagger}(\vb*{p}),a(\vb*{p})$
に加え反粒子の生成消滅演算子 $b^{\dagger}(\vb*{p}),b(\vb*{p})$
を導入する．交換子は
$$\comm{a(\vb*{p})}{a^{\dagger}(\vb*{p}')}=\delta^{(3)}(\vb*{p}-\vb*{p}')\qc\comm{b(\vb*{p})}{b^{\dagger}(\vb*{p}')}=\delta^{(3)}(\vb*{p}-\vb*{p}')$$ 個数演算子とチャージ演算子を次のように導入する．
$$N _ {a}=\int\dd{^{3}\vb*{p}}a^{\dagger}(\vb*{p})a(\vb*{p})\qc N _
{b}=\int\dd{^{3}\vb*{p}}b^{\dagger}(\vb*{p})b(\vb*{p})\qc Q=N _
{a}-N _ {b}$$
ハミルトニアンと運動量は
$$H=\int\dd{^{3}\vb*{p}}E _
{\vb*{p}}\qty{a^{\dagger}(\vb*{p})a(\vb*{p})+b^{\dagger}(\vb*{p})b(\vb*{p})}\qc\vb*{P}=\int\dd{^{3}\vb*{p}}\vb*{p}\qty{a^{\dagger}(\vb*{p})a(\vb*{p})+b^{\dagger}(\vb*{p})b(\vb*{p})}$$ 次の場 $\phi(x)$ を考えると，随伴場 $\phi^{\dagger}(x)$ ，共役運動量場
$\pi(x)$ を得る． $$\begin{aligned}
\phi(x) & =\int\frac{\dd{^{3}\vb*{p}}}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}\sqrt{2E
_ {\vb*{p}}}}\qty{a(\vb*{p})e^{-ip\cdot
x}+b^{\dagger}(\vb*{p})e^{ip\cdot x}} \\ \phi^{\dagger}(x) &
=\int\frac{\dd{^{3}\vb*{p}}}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}\sqrt{2E _
{\vb*{p}}}}\qty{a^{\dagger}(\vb*{p})e^{ip\cdot
x}+b(\vb*{p})e^{-ip\cdot x}} \\ \pi(x) & =\partial _
{0}\phi(x)=-i\int\frac{\dd{^{3}\vb*{p}}}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\sqrt{\frac{E
_ {\vb*{p}}}{2}}\qty{a(\vb*{p})e^{-ip\cdot
x}+b^{\dagger}(\vb*{p})e^{ip\cdot x}}
\end{aligned}$$ 次の同時交換関係を得る．
$$\comm{\phi(\vb*{x},t)}{\pi(\vb*{y},t)}=\comm{\phi^{\dagger}(\vb*{x},t)}{\pi^{\dagger}(\vb*{y},t)}=i\delta^{(3)}(\vb*{x}-\vb*{y})$$
Simple Description
状態の記述
真空ケットと生成演算子
占有数表示
個数演算子
規格化
統計性
主要な演算子
積の順序
正規順序積
時間順序積
複素スカラー場
生成・消滅演算子
主要な演算子
場
同時交換関係
Basic Problems
個数演算子
解答例
$$\begin{aligned} N\ket{n(\vb*{p})} & =\int\dd{^{3}\vb*{p}'}a^{\dagger}(\vb*{p}')a(\vb*{p}')\frac{(a^{\dagger}(\vb*{p}) )^{n}}{\sqrt{n!}}\ket{0} \\ & =\int\dd{^{3}\vb*{p}'}\frac{a^{\dagger}(\vb*{p}')}{\sqrt{n!}}\qty{(a^{\dagger}(\vb*{p}) )^{n}a(\vb*{p}')+\comm{a(\vb*{p}')}{(a^{\dagger}(\vb*{p}) )^{n}}}\ket{0} \\ &=\int\dd{^{3}\vb*{p}}\frac{a^{\dagger}(\vb*{p})}{\sqrt{n!}}\qty{0+n\delta^{(3)}(\vb*{p}-\vb*{p}')(a^{\dagger}(\vb*{p}) )^{n-1}}\ket{0}=n\ket{n(\vb*{p})} \end{aligned}$$
Standard Problem
個数演算子の交換
解答例
$$\begin{aligned} & \comm{N(\vb*{p})}{N(\vb*{p}')}=\int\dd{^{3}\vb*{p}}\dd{^{3}\vb*{p}'}\comm{a^{\dagger}(\vb*{p})a(\vb*{p})}{a^{\dagger}(\vb*{p}')a(\vb*{p}')} \\ & =\int\dd{^{3}\vb*{p}}\dd{^{3}\vb*{p}'}\qty{a^{\dagger}(\vb*{p})\comm{a(\vb*{p})}{a^{\dagger}(\vb*{p}')}a(\vb*{p}')+a^{\dagger}(\vb*{p}')\comm{a^{\dagger}(\vb*{p})}{a(\vb*{p}')}a(\vb*{p})} \\ & =\int\dd{^{3}\vb*{p}}\qty{a^{\dagger}(\vb*{p})a(\vb*{p})-a^{\dagger}(\vb*{p})a(\vb*{p})}=0 \end{aligned}$$
