大学で物理を学ぶための準備として，線形代数について簡単に解説します．大学で最初に学ぶ数学は数学者の先生の証明中心の授業で難しいと感じる人が多いと思います．ここにまとめた知識さえ押さえておけば，たいていの分野で線形代数は万全でしょう．
行列演算
スカラー倍
$$\alpha[a _ {ij}]=[\alpha a _ {ij}]$$
和
同じ型の行列に対して $$[a _ {ij}]+[b _ {ij}]=[a _ {ij}+b _ {ij}]$$
積
$l\times m$ 行列 $[a _ {ij}]$ と $m\times n$ 行列 $[b _ {ij}]$ に対して $$[a _ {ij}][b _ {ij}]=[a _ {ik}b _ {kj}]$$ （総和規約を使用）分配則，結合則は成り立つが交換則は一般に成り立たない．
行列の関係
転置行列
$$A^{T}=[a _ {ji}]$$
単位行列
$$I=[\delta _ {ij}]$$
逆行列
$$AA^{-1}=A^{-1}A=I$$ 逆行列をもつことを正則という．上の定義から直ちに次が成立． $$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\qc(A^{-1})^{T}=(A^{T})^{-1}$$
随伴行列
$$A^{\dagger}=(A^{T})^{\ast}$$ $A^{\dagger}=A$ ならエルミート行列．正方行列 $A$ に対し $A^{\dagger}A$ や $A^{\dagger}+A$ はエルミート行列．
ベクトル内積
ベクトルの内積を行列の積で表せる．（総和規約を使用） $$\vb*{a}\cdot\vb*{b}=[a _ {i1}]^{\dagger}[b _ {j1}]=[a _ {1k}^{\ast}b _ {k1}]$$
行列式
$n$ 次正方行列 $A$ において置換 $\sigma$ に対し次で定義される． $$\abs{A}=\sum _ {\sigma}^{n}\text{sgn}(\sigma)\prod _ {i=1}^{n}a _ {i,\sigma(i)}$$
余因子
$n$ 次正方行列で $i$ 行と $j$ 列を除いた行列の行列式に $(-1)^{i+j}$ を掛けたもの．
余因子展開
余因子 $C _ {ij}$ に対し $$\forall{i}\qc\abs{A}=\sum _ {j}a _ {ij}C _ {ij}$$
2次正方行列の行列式
（総和規約を使用） $$\mqty|\xmat*{a}{2}{2}|=\sum _ {j}a _ {1j}C _ {1j}=a _ {11}a _ {22}-a _ {12}a _ {21}$$
3次正方行列の行列式
（総和規約を使用） $$\begin{aligned} \mqty|\xmat*{a}{3}{3}| & =\sum _ {j}a _ {1j}C _ {1j}=a _ {11}\mqty|a _ {22} & a _ {23} \\ a _ {32} & a _ {33}|-a _ {12}\mqty|a _ {21} & a _ {23} \\ a _ {31} & a _ {33}|+a _ {13}\mqty|a _ {21} & a _ {22} \\ a _ {31} & a _ {32}| \\ & =a _ {11}a _ {22}a _ {33}+a _ {12}a _ {23}a _ {31}+a _ {13}a _ {21}a _ {32} \\ & \quad-a _ {13}a _ {22}a _ {31}-a _ {12}a _ {21}a _ {33}-a _ {11}a _ {23}a _ {32} \end{aligned}$$
ベクトル外積
（総和規約やㇾビ・チビタを使用） $$\vb*{a}\cross\vb*{b}=\mqty|\vb*{e} _ {x} & \vb*{e} _ {y} & \vb*{e} _ {z} \\ a _ {x} & a _ {y} & a _ {z} \\ b _ {x} & b _ {y} & b _ {z}|=\varepsilon _ {ijk}\vb*{e} _ {i}a _ {j}b _ {k}$$ 結合，分配則は成り立つが，一般に交換則は成り立たない: $\vb*{a}\cross\vb*{b}=-\vb*{b}\cross\vb*{a}$
逆行列
$\abs{A}\neq0$ のとき逆行列が存在． $$A^{-1}=\frac{1}{\abs{A}}[C _ {ij}]^{T}$$
固有値問題
固有値方程式
固有値 $\lambda$ ，固有ベクトル $\vb*{v}$ に対して $$A\vb*{v}=\lambda\vb*{v}$$
エルミート行列の固有値
ベクトル内積 $\vb*{v}\cdot(A\vb*{v})$ を行列で表すと $$[\vb*{v}]^{\dagger}[A\vb*{v}]=[A\vb*{v}]^{\dagger}[\vb*{v}]\iff[\vb*{v}]^{\dagger}\lambda[\vb*{v}]=\lambda^{\ast}[\vb*{v}]^{\dagger}[\vb*{v}]\iff\lambda=\lambda^{\ast}\quad\therefore\lambda\in\mathbb{R}$$
エルミート行列の固有ベクトル
$$\vb*{v} _ {i}\cdot(A\vb*{v} _ {j})=(A\vb*{v} _ {i})\cdot\vb*{v} _ {j}\iff\lambda _ {j}\vb*{v} _ {i}\cdot\vb*{v} _ {j}=\lambda _ {i}\vb*{v} _ {j}\cdot\vb*{v} _ {j}\iff\lambda _ {i}=\lambda _ {j}\qq{or}\vb*{v} _ {i}\cdot\vb*{v} _ {j}=0$$
固有方程式
固有値方程式を変形 $$(A-\lambda I)\vb*{v}=\vb*{0}\quad\therefore\vb*{v}\neq\vb*{0}\iff\text{$A-\lambda I$ の逆行列が存在しない}\iff\abs{A-\lambda I}=0$$
対角化
固有ベクトルを並べた $V=\mqty(\vb*{v} _ {1} & \cdots & \vb*{v} _ {n})$ を用いると $$\begin{aligned} V^{-1}AV & =V^{-1}A\mqty(\vb*{v} _ {1} & \cdots & \vb*{v} _ {n})=V^{-1}\mqty(\lambda _ {1}\vb*{v} _ {1} & \cdots & \lambda _ {n}\vb*{v} _ {n}) \\ & =V^{-1}\mqty(\vb*{v} _ {1} & \cdots & \vb*{v} _ {n})\mqty(\lambda _ {1} & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda _ {n})=\mqty(\lambda _ {1} & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda _ {n}) \end{aligned}$$ 対角化可能 $\iff$ 固有ベクトルが1次独立 $\iff$ $A$ の固有値がすべて異なる or $A$ が実対称行列．エルミート行列はユニタリー行列によって対角化可能．
回転行列
$z$ 軸周りに $\phi$ だけ回転すると次のように点が移動する $$\mqty(R\cos{(\theta+\phi)} \\ R\sin{(\theta+\phi)} \\ z)=R _ {z}\mqty(R\cos{\theta} \\ R\sin{\theta} \\ z)\quad\therefore R _ {z}=\mqty(\cos{\phi} & -\sin{\phi} & 0 \\ \sin{\phi} & \cos{\phi} & 0 \\ 0 & 0 & 1)$$ 行列の成分を $(x,y,z)\to(y,z,x)$ のように置き換えると $x$ 軸周りの回転になり， $(z,x,y)$ に置き換えると $y$ 軸周りの回転になる． $$R _ {x}=\mqty(1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos{\phi} & -\sin{\phi} \\ 0 & \sin{\phi} & \cos{\phi})\qc R _ {y}=\mqty(\cos{\phi} & 0 & \sin{\phi} \\ 0 & 0 & 0 \\ -\sin{\phi} & 0 & \cos{\phi})$$
ご意見やご感想をお待ちしています．次回も物理数学をわかりやすくシンプルにお伝えしますのでお楽しみに！
