「物理数学」第1章は必修編として「物理学の準備」をお送りします．この初回「表記法」では，総和規約やクロネッカーのデルタ，ㇾビ・チビタの記号などを簡単に解説します．総和規約は多くの分野で多用されており，微分の略記は弾性体力学などでよく用いられます．
Simple Description
変数
$x _ 1, x _ 2, \cdots, x _ n$ を $x _ i\ (i=1,2,\cdots,n)$ と表す．（ $i$ : 指標）
総和規約
1つの項の中の指標を2回繰り返したとき，その指標の取り得る値で総和を取る．
例: $\displaystyle\sum _ {i=1}^{n}a _ ix _ i\longrightarrow a _ ix _ i$
微分
添え字内でコンマ以降の指標は，その指標が表す変数での微分を表す．（微分についての記事）
例: $df=\pdv{f}{x _ i}\dd{x _ i}\longrightarrow \dd{f}=f _ {,i}\dd{x _ i}$
レビ・チビタ記号
$$\varepsilon _ {ijk}= \begin{cases} 1 & \text{$(i,j,k)$ が $1,2,3$ と同順} \\ -1 & \text{$(i,j,k)$ が $1,2,3$ と逆順} \\ 0 & \text{$(i,j,k)$ に重複あり} \end{cases}$$ $$\begin{cases} \text{$1,2,3$ と同順（偶置換）} & : (i,j,k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2) \\ \text{$1,2,3$ と逆順（奇置換）} & : (i,j,k)=(1,3,2),(3,2,1),(2,1,3) \end{cases}$$
クロネッカーのデルタ
$$\delta _ {ij}= \begin{cases} 1 & (i=j) \\ 0 & (i\ne j) \end{cases}$$
Basic Problems
指標は $i,j,k,l,m,n\in{1,2,3}$ とする．
総和規約
以下を総和規約を用いずに表せ．
$a _ ib _ i$
$x _ i'=\alpha _ {ij}x _ j$
解答例
線形代数に関連した問題です．
$$\sum _ {i=1}^{3}a _ {i}b _ {i}$$ （これはベクトル内積 $\vb*{a}\cdot\vb*{b}$ を表す式．）
$$x _ {i}'=\sum _ {j=1}^{3}\alpha _ {ij}x _ {j}$$ （これは回転行列によるベクトル回転を表す式．）
クロネッカーのデルタ
以下を示せ．
$\delta _ {ii}=3$
$\delta _ {ij}a _ j=a _ i$
$\delta _ {ij}\alpha _ {ij}=\alpha _ {ii}$
$x _ {i,j}=\delta _ {ij}$
解答例
$$\delta _ {ii}=\delta _ {11}+\delta _ {22}+\delta _ {33}=3$$
$i=j$ となるとき以外は $\delta _ {ij}=0$ だから $$\delta _ {ij}a _ {j}=\sum _ {j=1}^{3}\delta _ {ij}a _ {j}=a _ {i}$$
各 $i$ で $j=i$ の項のみ残るから $$\delta _ {ij}\alpha _ {ij}=\sum _ {i,j=1}^{3}\delta _ {ij}\alpha _ {ij}=\alpha _ {ii}$$
$x _ {i}$ は独立変数だから $$x _ {i,j}=\pdv{x _ {i}}{x _ {j}}=\delta _ {ij}$$
ナブラ
以下を総和規約を用いて表せ．（ナブラについての記事）
$\div{\vb*{u}}$
$\curl{\vb*{u}}$
解答例
$$\div{\vb*{u}}=\pdv{u _ {i}}{x _ {i}}=u _ {i,i}$$
$$\curl{\vb*{u}}=\varepsilon _ {ijk}\vb*{e} _ {i}\partial _ {j}u _ {k}=\varepsilon _ {ijk}\vb*{e} _ {i}u _ {k,j}$$
応用問題
以下を示せ．
$\varepsilon _ {ijk}\varepsilon _ {ilm}=\delta _ {jl}\delta _ {km}-\delta _ {kl}\delta _ {jm}$
$\varepsilon _ {ijk}\varepsilon _ {ijk}=6$
$\det[\alpha _ {ij}]=\varepsilon _ {ijk}\alpha _ {1i}\alpha _ {2j}\alpha _ {3k}$ （3次行列式）
解答例
$j\neq k$ かつ $m\neq l$ の場合を考える（ $j=k$ または $m=l$ なら両辺0で成立）．左辺は $i\neq j,k$ の項のみ残り， $(i,j,k)$ と $(i,l,m)$ が同じなら1， $(j,k)$ と $(l,m)$ が入れ替わっていたら $-1$ になるから $$\sum _ {i=1}^{3}\varepsilon _ {ijk}\varepsilon _ {ilm}=\delta _ {jl}\delta _ {km}-\delta _ {jm}\delta _ {kl}$$
$(i,j,k)$ が $(1,2,3)$ の順になるのは $(1,2,3)$，$(2,3,1)$，$(3,1,2)$ の3通り．逆順になるものも3通りあり，それ以外は0だから $$\sum _ {i,j,k=1}^{3}\varepsilon _ {ijk}^{2}=1^{2}\times3+(-1)^{2}\times3=6$$
$$\det[\alpha _ {ij}]=\mqty|\xmat*{\alpha}{3}{3}|=\varepsilon _ {ijk}\alpha _ {1i}\alpha _ {2j}\alpha _ {3k}$$
Standard Problems
総和規約
以下を総和規約を用いて表せ．
$\vb*{x}=x _ 1\vb*{e} _ 1 + x _ 2\vb*{e} _ 2 + x _ 3\vb*{e} _ 3$
$\vb*{x}^{2}=x _ 1^{2}+x _ 2^{2}+x _ 3^{2}$
$a _ 1x _ 1+a _ 2x _ 2+a _ 3x _ 3=a$
$u _ {1112}+u _ {2122}+u _ {3132}$
$\grad{f}$
$\Delta f$
解答例
一部ベクトル解析に関連した問題です．
$$\vb*{x}=x _ {i}\vb*{e} _ {i}$$ （空間ベクトル）
$$\vb*{x}^{2}=x _ {i}x _ {i}$$ （ベクトルの大きさ）
$$a _ {i}x _ {i}=a$$ （平面の方程式）
$$u _ {i1i2}$$ （4階テンソルの成分の和）
$$f _ {,i}\vb*{e} _ {i}$$ （勾配）
$$f _ {,ii}$$ （ラプラシアン）
クロネッカーのデルタ
以下を示せ．
$\delta _ {ij}=\delta _ {ji}$
$\delta _ {ij}\delta _ {ik}=\delta _ {jk}$
$\alpha _ {ik}\delta _ {kj}=\alpha _ {ij}$
$\vb*{e} _ i\cdot\vb*{e} _ j=\delta _ {ij}$
解答例
$$\delta _ {ij}=\delta _ {ji}=\begin{cases} 1 & (i=j) \\ 0 & (i\neq j) \end{cases}$$
$i=j$ の項以外は必ず0となるから $\delta _ {ik}\to\delta _ {jk}$ と書き換えられ $$\sum _ {i=1}^{3}\delta _ {ij}\delta _ {ik}=\delta _ {jk}$$
$k=j$ の項以外は必ず0となるから $\alpha _ {ik}\to\delta _ {ij}$ と書き換えられ $$\sum _ {k=1}^{3}\alpha _ {ik}\delta _ {kj}=\alpha _ {ij}$$
たがいに直交するから $\vb*{e} _ {i}\cdot\vb*{e} _ {j}=0$ $(i\neq j)$ ．正規化されているから $\vb*{e} _ {i}\cdot\vb*{e} _ {i}=1$ ．よって $$\vb*{e} _ {i}\vb*{e} _ {j}=\delta _ {ij}$$
ベクトル外積
$\vb*{a}\cp\vb*{b}=-\vb*{b}\cp\vb*{a}$ を示せ．（ベクトル外積）
解答例
$$\vb*{a}\cross\vb*{b}=\varepsilon _ {ijk}\vb*{e} _ {i}a _ {j}b _ {k}=(-\varepsilon _ {ikj})\vb*{e} _ {i}a _ {j}b _ {k}=-\varepsilon _ {ikj}\vb*{e} _ {i}b _ {k}a _ {j}=-\vb*{b}\cross\vb*{a}$$
行列成分の計算
$A=[A _ {ij}],B=[B _ {ij}]$ で $C:= AB, D:= A^{T}B$ の成分を書き下せ．（行列の関係）
解答例
$$C _ {ij}=A _ {ik}B _ {kj}\qc D _ {ij}=A _ {ki}B _ {kj}$$
レビ・チビタとクロネッカーのデルタ
以下を示せ．
$\varepsilon _ {ijk}\varepsilon _ {ijl}=2\delta _ {kl}$
$\varepsilon _ {ijk}\delta _ {jk}=0$
$\varepsilon _ {ijk}\varepsilon _ {lmn} = \begin{vmatrix} \delta _ {il} & \delta _ {im} & \delta _ {in} \\ \delta _ {jl} & \delta _ {jm} & \delta _ {jn} \\ \delta _ {kl} & \delta _ {km} & \delta _ {kn} \\ \end{vmatrix}$ （3次行列式）
解答例
$$\varepsilon _ {ijk}\varepsilon _ {ijl}=\begin{cases} 1 & (i,j,k)=(i,j,l) \\ 0 & (i,j,k)\neq(i,j,l) \end{cases}$$ より $k=l$ の場合を考える（ $k\neq l$ では両辺0で成立）． $\varepsilon _ {ijk}^{2}$ を $i$，$j$ について和をとればよいから， $(i,j,k)$ が $(1,2,3)$ と同順になる $(i,j)$ と逆順になる $(i,j)$ があるから $$\sum _ {i,j=1}^{3}\varepsilon _ {ijk}\varepsilon _ {ijl}=2\delta _ {kl}$$
$$\sum _ {j,k=1}^{3}\varepsilon _ {ijk}\delta _ {jk} \\ =\sum _ {j=1}^{3}\varepsilon _ {ijj}=0$$
$$\mqty|\delta _ {il} & \delta _ {im} & \delta _ {in} \\ \delta _ {jl} & \delta _ {jm} & \delta _ {jn} \\ \delta _ {kl} & \delta _ {km} & \delta _ {kn}|$$ $$=\delta _ {il}\delta _ {jm}\delta _ {kn}+\delta _ {im}\delta _ {jn}\delta _ {kl}+\delta _ {in}\delta _ {jl}\delta _ {km}-\delta _ {in}\delta _ {jm}\delta _ {kl}-\delta _ {im}\delta _ {jl}\delta _ {kn}-\delta _ {il}\delta _ {jn}\delta _ {km}$$ $$=\begin{cases} 1 & (i,j,k)=(l,m,n),(m,n,l),(n,l,m) \\ -1 & (i,j,k)=(n,m,l),(m,l,n),(l,n,m) \\ 0 & (\text{otherwise}) \end{cases}$$ これは $\varepsilon _ {ijk}\varepsilon _ {lmn}$ に等しい．
ご意見やご感想をお待ちしています．次回も物理数学をわかりやすくシンプルにお伝えしますのでお楽しみに！
