大学で物理を学ぶための準備として，ベクトル解析について簡単に解説します．ここにまとめた知識さえ押さえておけば，たいていの分野でベクトル解析は万全でしょう．本記事では総和規約を使用しております．詳しくは以下の記事をご覧ください．
ナブラの作用
$\grad:=\vb*{e} _ {i}\partial _ {i}$ より
勾配: $\grad{f}=\vb*{e} _ {i}\partial _ {i}f$ ， $f$ の値が大きくなる方向に向くベクトル．
発散: $\div{\vb*{A}}=\partial _ {i}A _ {i}$ ，湧き出しに相当．
回転: $\curl{\vb*{A}}=\varepsilon _ {ijk}\vb*{e} _ {i}\partial _ {j}A _ {k}$ ，渦に相当し $\curl{\vb*{A}}=\vb*{0}$ を渦なしという．
ラプラシアン: $\laplacian=\partial _ {i}\partial _ {i}$
チェーンルール
$$\div(f\vb*{A})=\partial _ {i}fA _ {i}=(\partial _ {i}f)A _ {i}+f(\partial _ {i}A _ {i})=(\grad{f})\cdot\vb*{A}+f(\div{\vb*{A}})$$ $$\curl(f\vb*{A})=\varepsilon _ {ijk}\vb*{e} _ {i}\partial _ {j}fA _ {k}=\varepsilon _ {ijk}\vb*{e} _ {i}(\partial _ {j}f)A _ {k}+f\varepsilon _ {ijk}\vb*{e} _ {i}\partial _ {j}A _ {k}=(\grad{f})\cross\vb*{A}+f\curl{\vb*{A}}$$ $$\curl(\grad{f})=\varepsilon _ {ijk}\vb*{e} _ {i}\partial _ {j}\partial _ {k}f=\vb*{0}\quad(\because\text{Symmetry for the exchange of j and k})$$ $$\div(\curl{\vb*{A}})=\partial _ {i}\varepsilon _ {ijk}\partial _ {j}A _ {k}=\vb*{0}\quad(\because\text{Symmetry for the exchange of i and j})$$ $$\div(\vb*{A}\cross\vb*{B})=\partial _ {i}\varepsilon _ {ijk}A _ {j}B _ {k}=\varepsilon _ {ijk}(\partial _ {i}A _ {j})B _ {k}+A _ {j}\varepsilon _ {ijk}(\partial _ {i}B _ {k})=(\curl{\vb*{A}})\cdot\vb*{B}-\vb*{A}\cdot(\curl{\vb*{B}})$$ $$\begin{aligned} \curl(\curl{\vb*{A}}) & =\varepsilon _ {ijk}\vb*{e} _ {i}\partial _ {j}\varepsilon _ {klm}\partial _ {l}A _ {m}=(\delta _ {il}\delta _ {jm}-\delta _ {im}\delta _ {jl})\vb*{e} _ {i}\partial _ {j}\partial _ {l}A _ {m} \\ & =\vb*{e} _ {i}\partial _ {i}\partial _ {j}A _ {j}-\partial _ {j}\partial _ {j}A _ {i}\vb*{e} _ {i}=\grad(\div{\vb*{A}})-\laplacian\vb*{A} \end{aligned}$$
座標系とナブラ
2次元極座標
$x=r\cos{\theta}$，$y=r\sin{\theta}$ を満たす $(r,\theta)$ の座標である．よって $r$，$\theta$ が増す方向は $$\pdv{\vb*{r}}{r}=\mqty(\cos{\theta} \\ \sin{\theta})\qc\pdv{\vb*{r}}{\theta}=\mqty(-r\sin{\theta} \\ r\cos{\theta})\quad\therefore\vb*{e} _ {r}=\mqty(\cos{\theta} \\ \sin{\theta})\qc\vb*{e} _ {\theta}=\mqty(-\sin{\theta} \\ \cos{\theta})$$
円筒座標
$(r,\theta,z)$ の座標で，基底ベクトルは $\vb*{e} _ {r}$，$\vb*{e} _ {\theta}$，$\vb*{e} _ {z}$ である．長さの次元をもつ $\dd{\vb*{r}}=\dd{r}\vb*{e} _ {r}+r\dd{\theta}\vb*{e} _ {\theta}+\dd{z}\vb*{e} _ {z}$ に対して $\dd{\vb*{r}}\cdot\grad{f}=\dd{f}\qty(:=\pdv{f}{r}\dd{r}+\pdv{f}{\theta}\dd{\theta}+\pdv{f}{z}\dd{z})$ であるから $$\grad=\vb*{e} _ {r}\partial _ {r}+\vb*{e} _ {\theta}\frac{\partial _ {\theta}}{r}+\vb*{e} _ {z}\partial _ {z}$$ 基底ベクトルへの作用を考慮して（ベクトル以外への作用はベクトルの直交性で消える） $$\begin{aligned} \laplacian & =\partial _ {r}^{2}+\vb*{e} _ {\theta}\cdot\frac{\partial _ {\theta}}{r}\vb*{e} _ {r}\partial _ {r}+\vb*{e} _ {\theta}\cdot\frac{\partial _ {\theta}}{r}\vb*{e} _ {\theta}\frac{\partial _ {\theta}}{r}+\partial _ {z}^{2} \\ & =\partial _ {r}^{2}+\frac{\partial _ {r}}{r}+\vb*{e} _ {\theta}\cdot\frac{-\vb*{e} _ {r}}{r}\frac{\partial _ {\theta}}{r}+\frac{\partial _ {\theta}^{2}}{r^{2}}+\partial _ {z}^{2} \\ & =\frac{\partial _ {r}}{r}(r\partial _ {r})+\frac{\partial _ {\theta}^{2}}{r^{2}}+\partial _ {z}^{2} \end{aligned}$$
極座標
$x=r\sin{\theta}\cos{\phi}$，$y=r\sin{\theta}\sin{\phi}$，$z=r\cos{\theta}$ を満たす $(r,\theta,\phi)$ の座標で，基底ベクトルは $$\vb*{e} _ {r}=\mqty(\sin{\theta}\cos{\phi} \\ \sin{\theta}\sin{\phi} \\ \cos{\theta})\qc\vb*{e} _ {\theta}=\mqty(\cos{\theta}\cos{\phi} \\ \cos{\theta}\sin{\phi} \\ -\sin{\theta})\qc\vb*{e} _ {\phi}=\mqty(-\sin{\phi} \\ \cos{\phi} \\ 0)$$ $\dd{\vb*{r}}=\dd{r}\vb*{e} _ {r}+r\dd{\theta}\vb*{e} _ {\theta}+r\sin{\theta}\dd{\phi}\vb*{e} _ {\phi}$ に対し $\dd{\vb*{r}}\cdot\grad{f}=\dd{f}$ であるから $$\grad=\vb*{e} _ {r}\partial _ {r}+\vb*{e} _ {\theta}\frac{\partial _ {\theta}}{r}+\vb*{e} _ {\phi}\frac{\partial _ {\phi}}{r\sin{\theta}}$$ $$\begin{aligned} \laplacian & =\partial _ {r}^{2}+\vb*{e} _ {\theta}\cdot\frac{\partial _ {\theta}}{r}\vb*{e} _ {r}\partial _ {r}+\vb*{e} _ {\theta}\cdot\frac{\partial _ {\theta}}{r}\vb*{e} _ {\theta}\frac{\partial _ {\theta}}{r} \\ & \quad+\vb*{e} _ {\phi}\cdot\frac{\partial _ {\phi}}{r\sin{\theta}}\vb*{e} _ {r}\partial _ {r}+\vb*{e} _ {\phi}\cdot\frac{\partial _ {\phi}}{r\sin{\theta}}\vb*{e} _ {\phi}\frac{\partial _ {\phi}}{r}+\vb*{e} _ {\phi}\cdot\frac{\partial _ {\phi}}{r\sin{\theta}}\vb*{e} _ {\phi}\frac{\partial _ {\phi}}{r\sin{\theta}} \\ & =\partial _ {r}^{2}+\vb*{e} _ {\theta}\cdot\frac{\vb*{e} _ {\theta}}{r}\partial _ {r}+\vb*{e} _ {\theta}\cdot\frac{-\vb*{e} _ {r}}{r}\frac{\partial _ {\theta}}{r}+\frac{\partial _ {\theta}^{2}}{r^{2}} \\ & \quad+\vb*{e} _ {\phi}\cdot\frac{\vb*{e} _ {\phi}}{r}\partial _ {r}+\vb*{e} _ {\phi}\cdot\frac{\vb*{e} _ {\phi}}{r\tan{\theta}}\frac{\partial _ {\theta}}{r}+\vb*{e} _ {\phi}\cdot\smqty(-\cos{\phi} \\ -\sin{\phi} \\ 0)\frac{\partial _ {\phi}}{r^{2}\sin^{2}{\theta}}+\frac{\partial _ {\phi}^{2}}{r^{2}\sin^{2}{\theta}} \\ & =\partial _ {r}^{2}+2\frac{\partial _ {r}}{r}+\frac{\partial _ {\theta}^{2}}{r^{2}}+\frac{\partial _ {\theta}}{r^{2}\tan{\theta}}+\frac{\partial _ {\phi}^{2}}{r^{2}\sin^{2}{\theta}} \\ & =\frac{\partial _ {r}}{r^{2}}(r^{2}\partial _ {r})+\frac{\partial _ {\theta}}{r^{2}\sin{\theta}}(\sin{\theta}\partial _ {\theta})+\frac{\partial _ {\phi}^{2}}{r^{2}\sin^{2}{\theta}} \end{aligned}$$
ガウスの定理
点 $(x,y,z)$ を頂点とし各面が $x$，$y$，$z$ 軸に垂直な微小直方体 $\dd{x}\dd{y}\dd{z}$ において $\vb*{A}\cdot\dd{\vb*{S}}$ を計算する． $x$ 軸に垂直な面に対して計算すると $$\begin{aligned} & \vb*{A}(x+\dd{x},y,z)\cdot\dd{y}\dd{z}\vb*{e} _ {x}+\vb*{A}(x,y,z)\cdot\dd{y}\dd{z}(-\vb*{e} _ {x}) \\ & =\frac{A _ {x}(x+\dd{x},y,z)-A _ {x}(x,y,z)}{\dd{x}}\dd{x}\dd{y}\dd{z}=\pdv{A _ {x}}{x}\dd{V} \end{aligned}$$ $y$ 軸， $z$ 軸に垂直な面に対しても同様だから $\vb*{A}\cdot\dd{\vb*{S}}=\div{\vb*{A}}\dd{V}$ ．隣接する直方体においては，同じ面に対しての $\vb*{A}\cdot\dd{\vb*{S}}$ は $\dd{\vb*{S}}$ の符号が逆でキャンセルされるため，任意の領域 $V$ を微小直方体に分割して和をとると最終的に残るのは外側の面での $\vb*{A}\cdot\dd{\vb*{S}}$ の積分になって $$\int _ {S}\vb*{A}\cdot\dd{\vb*{S}}=\int _ {V}\div{\vb*{A}}\dd{V}$$
ストークスの定理
点 $(x,y)$ を頂点とし各辺が $x$，$y$ 軸に垂直な微小長方形 $\dd{x}\dd{y}$ において $\vb*{A}\cdot\dd{\vb*{r}}$ を計算する． $x$ 軸に垂直な辺に対して計算すると $$\vb*{A}(x+\dd{x},y)\cdot\dd{y}\vb*{e} _ {y}+\vb*{A}(x,y)\cdot\dd{y}(-\vb*{e} _ {y})=\frac{A _ {y}(x+\dd{x},y)-A _ {y}(x,y)}{\dd{x}}\dd{x}\dd{y}=\pdv{A _ {y}}{x}\dd{S}$$ $y$ 軸に垂直な辺に対しては $$\vb*{A}(x,y+\dd{y})\cdot\dd{y}(-\vb*{e} _ {x})+\vb*{A}(x,y)\cdot\dd{y}\vb*{e} _ {x}=\frac{-A _ {x}(x,y+\dd{y})+A _ {x}(x,y)}{\dd{y}}\dd{x}\dd{y}=-\pdv{A _ {x}}{y}\dd{S}$$ であり， $xy$ 平面から任意の平面に拡張すると $\vb*{A}\cdot\dd{\vb*{r}}=(\curl{\vb*{A}})\cdot\dd{\vb*{S}}$ と書ける．隣接する長方形においては，同じ辺に対しての $\vb*{A}\cdot\dd{\vb*{r}}$ は $\dd{\vb*{r}}$ の符号が逆でキャンセルされるため，任意の曲面 $S$ を微小長方形に分割して和をとると最終的に残るのは外側の経路での $\vb*{A}\cdot\dd{\vb*{r}}$ の積分になって $$\oint _ {C}\vb*{A}\cdot\dd{\vb*{r}}=\int _ {S}\curl{\vb*{A}}\cdot\dd{\vb*{S}}$$
ご意見やご感想をお待ちしています．次回も物理数学をわかりやすくシンプルにお伝えしますのでお楽しみに！
