大学で物理を学ぶための準備として，多変数関数の微積分やテイラー展開などを簡単に解説します．大学で最初に学ぶ数学は数学者の先生の証明中心の授業で難しいと感じる人が多いと思います．ここにまとめた知識さえ押さえておけば，たいていの分野で微積分は万全でしょう．
偏微分
他の変数を固定した微分． $$\pdv{u(x,y)}{x}=\lim _ {\varDelta{x}\to0}\frac{u(x+\varDelta{x},y)-u(x,y)}{\varDelta{x}}$$ $\pdv{u}{x}{y}$ と $\pdv{u}{y}{x}$ が連続なら $\pdv{u}{x}{y}=\pdv{u}{y}{x}$
全微分
全独立変数を動かして $u$ の変化を偏微分係数で表せること． $$\dd{u}(x,y)=u(x+\dd{x},y+\dd{y})-u(x,y)=\pdv{u}{x}\dd{x}+\pdv{u}{y}\dd{y}\iff\dv{u}{t}=\pdv{u}{x}\dv{x}{t}+\pdv{u}{y}\dv{y}{t}$$
多重積分
$$\int _ {S}\dd{x}\dd{y}u(x,y)=\lim _ {N,M\to\infty}\sum _ {\substack{1\leq i\leq N \\ 1\leq j\leq M}}(x _ {i+1}-x _ {i})(y _ {j+1}-y _ {j})u(x _ {i},y _ {j})$$
円の面積
半径 $a$ の円 $S$ での多重積分を累次積分で計算すると $$\begin{aligned} \int _ {S}\dd{x}\dd{y} & =\int _ {-a}^{a}\dd{x}\int _ {-\sqrt{a^{2}-x^{2}}}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\dd{y}=\int _ {-a}^{a}\dd{x}2\sqrt{a^{2}-x^{2}} \\ & =2a\int _ {\pi}^{0}(-a\sin{\theta}\dd{\theta})\sqrt{1-\cos^{2}\theta}\quad\qty(\cos{\theta}=\frac{x}{a}) \\ & =2a^{2}\int _ {0}^{\pi}\dd{\theta}\sin^{2}{\theta}=2a^{2}\int _ {0}^{\pi}\dd{\theta}\frac{1-\cos{2\theta}}{2}=\pi a^{2} \end{aligned}$$
ヤコビアン
積分の変数変換の行列式 $\abs{\pdv{(x,y)}{(s,t)}}$ ． $$\int _ {S}\dd{x}\dd{y}u(x,y)=\int _ {S}\abs{\pdv{(x,y)}{(s,t)}}\dd{s}\dd{t}u\qty(f(x,y),g(x,y))\qc\abs{\pdv{(x,y)}{(s,t)}}=\mqty|\pdv{x}{s} & \pdv{x}{t} \\ \pdv{y}{s} & \pdv{y}{t}|$$
円の面積
半径 $a$ の円での積分を極座標 $x=r\cos{\theta}$，$y=r\sin{\theta}$ で計算できる． $$\abs{\pdv{(x,y)}{(r,\theta)}}=\mqty|\pdv{x}{r} & \pdv{x}{\theta} \\ \pdv{y}{r} & \pdv{y}{\theta}|=\mqty|\cos{\theta} & -r\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & r\cos{\theta}|=r$$ $$\therefore\int _ {S}\dd{x}\dd{y}=\int _ {S}r\dd{r}\dd{\theta}=\int _ {0}^{a}r\dd{r}\int _ {0}^{2\pi}\dd{\theta}=\frac{a^{2}}{2}2\pi=\pi a^{2}$$
ガウス積分
$$\begin{aligned} \int _ {-\infty}^{\infty}\dd{x}e^{-x^{2}} & =\sqrt{\int _ {-\infty}^{\infty}\dd{x}\int _ {-\infty}^{\infty}\dd{y}e^{-(x^{2}+y^{2})}}=\sqrt{\int _ {0}^{2\pi}\dd{\theta}\int _ {0}^{\infty}r\dd{r}e^{-r^{2}}} \\ & =\sqrt{2\pi\qty[-\frac{e^{-r^{2}}}{2}] _ {0}^{\infty}}=\sqrt{\pi} \end{aligned}$$
テイラー展開
$$\begin{aligned} R _ {n} & =\int _ {a}^{x}\dd{x _ {1}}\int _ {a}^{x _ {1}}\dd{x _ {2}}\cdots\int _ {a}^{x _ {n-1}}\dd{x _ {n}}f^{(n)}(x _ {n}) \\ & =\int _ {a}^{x}\dd{x _ {1}}\cdots\int _ {a}^{x _ {n-2}}\dd{x _ {n-1}}\qty(f^{(n-1)}(x _ {n-1})-f^{(n-1)}(a)) \\ & =\cdots=f(x)-\sum _ {k=0}^{n-1}\frac{(x-a)^{k}}{k!}f^{(k)}(a) \end{aligned}$$ 積分を平均値の定理で処理した場合は $a<c<x$ に対し $$\begin{aligned} R _ {n}=\frac{(x-a)^{n}}{n!}f^{(n)}(c)\to0\quad(n\to\infty) \end{aligned}$$ よって $n$ 階微分可能な $f(x)$ に対してテイラーの定理 $$f(x)=\sum _ {k=0}^{n-1}\frac{(x-a)^{k}}{k!}f^{(k)}(a)+R _ {n}$$ が成り立ち， $n\to\infty$ のときテイラー展開 $$f(x)=\sum _ {k=0}^{\infty}\frac{(x-a)^{k}}{k!}f^{(k)}(a)$$ できる．これを多変数に拡張すると次式になる． $$f(\vb*{x})=\sum _ {k=0}^{\infty}\frac{\qty[(\vb*{x}-\vb*{a})\cdot\grad]^{k}}{k!}f(\vb*{a})$$
オイラーの公式
$e^{x}$，$\cos{x}$，$\sin{x}$ を $x=0$ の周りでテイラー展開（マクローリン展開） $$e^{x}=\sum _ {k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}\qc\cos{x}=\sum _ {k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}\cos{\frac{k\pi}{2}}\qc\sin{x}=\sum _ {k}\frac{x^{k}}{k!}\sin{\frac{k\pi}{2}}$$ $$\therefore e^{i\theta}=\sum _ {m=0}^{\infty}\qty(\frac{(-1)^{m}\theta^{2m}}{(2m)!}+\frac{i(-1)^{m}\theta^{2m+1}}{(2m+1)!})=\cos{\theta}+i\sin{\theta}$$ 三角関数を次のように置き換えられる: $\cos{\theta}=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}=\cosh(i\theta)$，$i\sin{\theta}=\sinh(i\theta)$
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