大学で学ぶ程度の物性物理を端的明快に説明する物性物理学シリーズ．第2章では，前章で解説した化学結合によって形成される「結晶構造」を解説します．今回はその第3回．前回解説した結晶の対称性を数学的に取り扱う枠組みとして，結晶群（点群）を解説します．
前回の記事はコチラ． univ-phys.hateblo.jp
群構造
任意の結晶を点群で表せる．対称操作を要素として
完備性 $A\otimes B=C$
結合則 $A\otimes(B\otimes C)=(A\otimes B)\otimes C$
単位元 $E=(\text{360°回転})$ の存在
逆元 $A^{-1}$ s.t. $A^{-1}\otimes A=E$ の存在
を満たす32個の結晶点群が存在し，並進対称性を入れれば230個の空間群が得られる1．
点群の表記法
ステレオ投影法
結晶を貫く最も対称性の高い軸方向から，この軸に垂直な結晶を中心に広がる面に対して，種々の格子面の法線を投影した図で表す表記法である．結晶を中心とした円を描き，投影した法線との交点に，その法線が面の上下どちらにあるかを示す黒点か白点を付す．
国際表記（ヘルマン・モーガン記号）
結晶群に含まれる対称操作を，前節で紹介した記号で列挙する表記法で，結晶学で用いられる． $n$ 回軸に垂直な鏡映面があれば $\frac{n}{m}$ と表すが，分子を省略することがある．
シェーンフリースの記号
主回転軸や主鏡映面による分類を主記号で示し，付加記号として鏡映面を $s=h,v,d$ の下付き添え字で示す表記法で，群論や分光学で用いられる．付加記号の $h$ は水平， $v$ は垂直， $d$ は対角鏡映面を表し，それぞれ主回転軸に垂直，平行，2回軸の二等分面内の主回転軸に平行な鏡映面である．下表に記号を整理した．
| 主記号 | 意味 | 付加記号 |
|---|---|---|
| $C _ {i}$ | 反転中心 | |
| $C _ {n}$ | $n$ 回軸 | $v$，$h$ |
| $S _ {n}$ | $n$ 次回反軸 | |
| $D _ {n}$ | 主 $n$ 回軸と垂直な $n$ 本の2回軸 | $d$，$h$ |
| $T$ | 正四面体の4本の3回軸と3本の4回軸 | $d$，$h$ |
| $O$ | 正八面体の4本の3回軸と3本の4回軸 | $h$ |
水分子
最も対称性が高い2回軸が主回転軸で対称面は主回転軸に平行だから $C _ {2v}$ と表せる．
立方体
3本の4回軸と4本の3回軸と，4回軸に垂直な鏡映面をもつから $O _ {h}$ と表せる．
ご意見やご感想をお待ちしています．次回も物性物理学シリーズをお送りしますのでお楽しみに！
- 並進群は交換法則が成り立つアーベル群である．↩
